Ввов

h информационных-

СИМбОЛОб

Систематический KoDep вля(л;/г)-коЭа , БЧХ; нулрм дх) являются

или , n = n+m..-vmt-1

Слово койа БЧХ из п битое

1 = 0

Перевоз с. е ffumoe

C-=(C-,C-2,...,C.m-)

Перееой г+ е да+ битое-

C+=(C+i,C+i,...,C+„,J

I Добавление проверки на четность йгя символа с-1

I С-=(Со,с.,С-г.....с-„ ) I

I -----------1

Формирование слова расширенного коба

с =(С.1.С-г,..., C-OT ,Co,f 1,...,fm-I,f+l,.. -, <:+m+)

Койовое слово из л битов

Рис. 8.10. Систематический кодер для расширенного кода БЧХ.

8.6. АЛЬТЕРНАНТНЫЕ КОДЫ

Код БЧХ длины п = - 1 над GF (q) представляет собой ограничение на подполе GF (q) кода Рида-Соломона над полем GF {q"). Иными словами, код БЧХ состоитиз всех GF(q)-3Ha4Hb\x слов кода Рида-Соломона. Поэтому минимальное расстояние кода БЧХ по меньшей мере равно минимальному расстоянию исходного кода Рида-Соломона. К сожалению, коды БЧХ большой длины с большим минимальным расстоянием не содержат нужного нам числа кодовых слов. Точнее говоря, в любой последовательности кодов БЧХ растущей длины с ограниченной скоростью (все коды последовательности удовлетворяют условию k/n > R для некоторого фиксированного R) нормированное минимальное расстояние d*/n стремится к нулю с ростом п. Исходный код

Рида-Соломона содержит достаточно кодовых слов, но его ограничение на подполе либо содержит мало кодовых слов, либо характеризуется плохой дистанционной структурой. В данном параграфе рассматриваются иные пути увеличения минимального расстояния при другом способе ограничения кода Рида -Соломона на подполе.

Альтернантные коды представляют собой класс линейных кодов, которые строятся из кодов БЧХ таким образом, чтобы при фиксированной скорости получить (хотя бы в принципе) большее минимальное расстояние. Пусть п = q" - 1. Выберем и зафиксируем над GF{q) n-мерный вектор h с ненулевыми компонентами и назовем его шаблоном (во временной области). Выберем также код Рида-Соломона над GF (q") с конструктивным расстоянием 2t -\- I. Альтернативный код состоит из всех CF (д)-значных векторов с, таких, что вектор с компонентами с} = hccc, i = О, п - 1, является словом кода Рида - Соломона.

Чтобы определить этот же код иначе, допустим, что все hi отличны от нуля, и положим gi = hj. Для каждого кодового слова с кода Рида-Соломона образуем вектор с компонентами ci = gici, I = О, n - 1. Если вектор с является GF{q)-3iia4-ным, то он принадлежит альтернантному коду. Альтернантный код определяется как множество всех (3/(д)-значных слов, которые могут быть получены таким способом.

Обычно выбирается шаблон h, все компоненты которого отличны от нуля; но если какие-то компоненты шаблона равны нулю, то и кодовое слово содержит нуль в этих компонентах. Нулевые компоненты кодового слова не содержат никакой информации и просто не передаются. Если алгоритм декодирования основан на полном слове, то в случае необходимости декодер может восстановить эти пропущенные нулевые компоненты.

При надлежащем выборе шаблона альтернантные коды обладают очень большим истинным минимальным расстоянием; при больших длинах они по существу так же хороши, как и любые известные хорошие коды. К сожалению, для больших п не известны правила выбора хороших шаблонов, хотя, как будет показано в следующем параграфе, хороших шаблонов достаточно много.

Определение альтернантных кодов легко переносится в частотную область. Предположим, что все компоненты вектора h отличны от нуля. Обозначим через Н преобразование вектора h и назовем его шаблоном в частотной области. Поскольку hjci при i = = О, п - 1 являются компонентами слова кода Рида-Соломона, то циклическая свертка Н*С дает спектр слова кода Рида-Соломона. Таким образом,

2j Hw-k))Ck = 0, / = /о...../о -f 2/ - 1.