честве проверочных d - 1 смежных частот, начиная с /о, и положим

С/о = с ,

Cj==o, i = Jo + и ...,/о +d-3,

где с и с+ - произвольные элементы поля GF (q"), не нарушающие ограничения сопряженности. Остальные спектральные координаты выбираются произвольно, но удовлетворяют этим ограничениям. Тогда внутренний вектор кодового слова получается обратным преобразованием Фурье этого спектра. Внутреннему вектору в кодовом слове предшествует хвост, состоящий не более чем из т GF (<7)-ичных символов и представляющий с , а за внутренним вектором следует.аналогичный хвост, представляющий с+. Ограничения сопряженности на С/, или С/„ vd-2 могут привести к тому, что порядок элементов с или с+ будет меньше, чем q" - 1, так что с или с+ будут записываться числом GF (д)-ичных символов, меньшим т. В этом случае длина хвоста будет делителем т.

При рассмотрении кодов БЧХ мы обычно полагали /о = 1, что, как правило, приводило к лучшим кодам. В данном параграфе мы увидим, что, как правило, выбор /о = О или -1 приводит к хорошим расширенным кодам БЧХ, хотя другой выбор /о иногда будет давать некоторое улучшение.

Сначала будем считать /о = О и d нечетным {d = 2t + \). На рис. 8.8 приведены все расширенные коды, получающиеся из примитивного кода БЧХ длины п <i 255. Проверочными частотами расширенного кода БЧХ являются Со, Сих, хотя в приводимых для сравнения примитивных кодах БЧХ проверочными частотами являются С, Ct- В качестве примера построим некоторые коды длины п = 63, используя приведенные на рис. 8.1 классы сопряженных элементов. Так как Со = Со, то этот элемент должен равняться нулю или единице, так что с является двоичным символом. Ct-x (а следовательно, и с+) является произвольным символом поля GF (64), за исключением случаев 2/ - 1 = 9 и 2/ - 1 = 21, когда / = 9, 18, 36, 27, 54, 45 и / = 42, а с+ содержит три и два бита информации соответственно. Далее, 2t - 1 должно являться наименьшим целым числом в своем классе сопряженных элементов, так как в противном случае соответствующая компонента спектра равна нулю И, следовательно, Сх также должна равняться нулю.

Пусть t = 4. Тогда 2/- 1 = 7 и Со, Сх, С являются проверочными частотами, причем Со = с„ - произвольный "элемент из GF (2), а С, = с+ - произвольный элемент из QF (64). Далее, Сд соответствует одному проверочному биту, а каждая нз 9*

Рис. 8.8. Таблица расширенны.х кодов БЧХ с /о = 0.

частот Ci, Сз, Сб и C соответствует шести проверочным битам. Следовательно, п = 63 -)- 1 + 6, и мы получаем (70,45)-код с минимальным расстоянием, равным по меньшей мере 9.

Пусть / = 8. Тогда 2t - 1 = 15 и проверочными частотами являются Со, Cj, Cis, причем Со = с - произвольный элемент поля GF (2), а Cig = с+ - произвольный элемент поля GF (64). Далее, Со соответствует одному проверочному биту, каждая из проверочных частот С, Сд, Cg, C, Сц, Cjg и Cj соответствует шести проверочным битам, а Сд соответствует трем проверочным битам. Следовательно, получаем (70,24)-код, минимальное расстояние которого равно по меньшей мере 17.

Второй пример иллюстрирует случай, когда конструктивное расстояние расширенного кода БЧХ меньше минимального расстояния исходного кода БЧХ. На рис. 8.8 имеется несколько таких случаев, и это происходит всегда, когда код БЧХ с конструктивным расстоянием d совпадает с кодом БЧХ с конструктивным расстоянием d -f- 2.

Положим теперь /о = -1. При таком выборе /о и с+=0 минимальное расстояние кода четно, так как правая проверочная частота должна иметь нечетный индекс. Чтобы сделать минимальное расстояние нечетным, добавим проверку на четность для битов одного из хвостов. Дополнительный проверочный символ позволит декодеру обнаружить ошибку в таком хвосте. Этого достаточно, чтобы увеличить на единицу минимальное расстояние кода. Мы не будем здесь доказывать этот факт, а отложим его доказательство до § 9.3, где будет описана процедура декодирования dl2 ошибок. Существование такого декодера является доказательством возможности увеличения на единицу минимального расстояния.

Все расширенные коды с /о = -1, получающиеся из примитивных кодов БЧХ длины п < 255, приведены на рис. 8.9. Были рассмотрены также другие значения для /о, но в диапазоне п 500 при d < 29 не было найдено других интересных случаев. Единственным исключением является GF (64). При /о = -9 можно построить (70, 20, 21)-код, который является расширением кода БЧХ и лучше всех известных кодов с такими же п к k.

На рис. 8.10 изображен кодер для расширенного (п, k, d)-Kofla БЧХ. В этом кодере используется порождающий многочлен (п, k, d - 2)-кода БЧХ, корни которого расположены в точках «"ч а*»-. В хвост кодового слова дописываются значения спектра в граничных частотах. В случае необходимости к одному из хвостов можно .дописать его проверку на четность.