2Б6 Гл. 8. КОДЫ; СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОдЫ

Если любые d - 1 столбцов этой проверочной матрицы линейно независимы, то минимальное расстояние кода равно по меньшей мере d. После исключения первого и последнего столбцов любое множество изд - + 1 столбцов образует матрицу Вандермонда, которая невырождена, и, следовательно, любые d - 1 внутренних столбцов линейно независимы. В случае же когда выбранное множество из q - k + I столбцов содержит первый и последний столбцы, соответствующий определитель можно вычислить, разлагая его по элементам сначала первого, а потом последнего столбцов. Это приведет к выбрасыванию сначала первой, а потом последней строки, и оставшаяся часть снова приводит к матрице Вандермонда, определитель которой отличен от нуля. Следовательно, любые q - + 1 столбцов линейно независимы, и поэтому минимальное расстояние кода равно по меньшей мере q - k +2.

Далее, если /о Ф О, то изменения в проверочной матрице при неизменных первом и последнем столбцах состоят в том, что все ее элементы умножаются на aio. Это, однако, никак не влияет на проведенные выше рассуждения. □

На рис. 8.6 изображен кодер в частотной области для расширенного кода Рида-Соломона. Мы сможем лучше понять эти коды, если будем представлять их кодер как модификацию кодера Б частотной области для обычного кода Рида-Соломона с минимальным расстоянием d*. Последний кодер определяется блоком

Загрузка А: информационных симеолоб

5.1-1 послебовательных нулв

Проверочные частоты

Граничные

" частоты

(у-1)-точечное обратное преобразование Фурье

Поступающее в канал

койовое слово

Граничный Граничный

символ символ

Рис. 8.6. Кодер для расширенного кода Рида-Соломона в частотной области.

8.4. РАСШИРЕННЫЕ КОДЫ РИДА-СОЛОМОНА 267

* - 1 последовательных частот, в которых стоят нулевые компоненты спектра. Остальные компоненты спектра принимают произвольные значения информационных символов из GF (q).

Для расширения этого кода за счет увеличения числа информационных символов используются две граничные частоты спектра в блоке проверочных частот спектра, которым придаются произвольные значения двух информационных символов, причем во временной области кодовое слово тоже дополняется этими двумя символами. В результате получается расширенный код Рида - Соломона с тем же минимальным расстоянием d*, но с двумя дополнительными информационными символами.

Если же мы хотим расширить исходный код так, чтобы увеличить его минимальное расстояние, то два дополнительных символа, присоединяемых к блоку проверочных частот, объявляются новыми проверочными частотами. Значения компонент этих частот не меняются, но во временной области те же два символа дописываются к кодовому слову. Это приводит к коду с таким же числом информационных символов, как и у исходного кода, но с минимальным расстоянием d* + 2. Конечно, мы получим тот же самый расширенный код, если будем исходить из кода Рида- Соломона с минимальным расстоянием d* + 2 и увеличивать в нем число информационных символов.

Кодер расширенного (п, )-кода Рида-Соломона во временной области показан на рис. 8.7. В этом случае расширение рассматривается как удлинение (п - 2, )-кода Рида-Соломона с минимальным расстоянием d* - 2 до кода с расстоянием d*. Для кодирования k информационных символов внутреннего вектора кодового слова используется порождающий многочлен с корнями

Веоб

/ информационных-симеолое

Рис. 8.7. Систематический кодер для расширенного кода Рида-Соломона. 9 Р. Блейхут

«2, ...,«2-. Граничные символы определяются при этом соответственно равенствами

П--1 п-1

с = 1 Ciai и с+= 1 Cia"

1=0 /=0

и присоединяются к внутреннему вектору для формирования кодового слова.

8.5. РАСШИРЕННЫЕ КОДЫ БЧХ

Теперь рассмотрим коды с канальным алфавитом GF (q), для построения которых используется поле локаторов GF (<?"). Используя конструкцию подкода над подполем, можно из расширенного кода Рида-Соломона над GF (q) построить расширение кода Рида-Соломона над меньшим подполем GF (q). В силу ограничений на подполе GF (q) иногда дополнительные компоненты расширения нельзя использовать в качестве информационных. А именно они, могут содержать только одни и те же значения символов для всех кодовых слов и, следовательно, вообще могт быть выкинуты.

В данном параграфе рассматривается несколько иной подход к построению кода над GF (q) из расширения кода над GF (q"). Этот подход состоит Б том, чтобы выбирать из расширения кода Рида- Соломона только те слова, у которых {f - 1 компонент внутреннего вектора принимают значения из подполя GF (д). Для двух символов расширения допускаются произвольные значения из поля GF {q"), но в кодовом слове они записываются в виде начального и конечного «хвостов», содержащих т GF{q)-m.-ных символов каждый.

Как мы увидим, такое кодирование не требует особого труда, но допускает декодирование с помощью преобразований и приводит ко многим хорошим кодам. Мы назовем эти коды расширенными кодами БЧХ. Для получения из расширенного кода БЧХ исходного кода достаточно выбрать те кодовые слова, хвосты которых равны нулю.

Вектор С размерности q" - 1 над GF {cf) задает допустимый спектр для внутреннего вектора GF (д)-значного кодового слова, если он удовлетворяет условиям сопряженности

С/ = Qw))-

При построении расширенного кода БЧХ с конструктивным расстоянием d мы поступим так же, как и при построении расширенного кода Рида-Соломона, Выберем в ка-