рх - 1ХИ

п компонент Преобразование

Символы поля Ofrq)

к информационных компонент

Символы поля GF(q)

* КоЭобое слово

Рис. 8.2. Кодирование кодом Рида-Соломона с помощью преобразования Фурье.

В них записывались нули. Остальные компоненты представляют собой k информационных символов, которые должны выбираться из GF ((/") такими q способами, чтобы обратное преобразование Фурье принимало значение в GF (q). В качестве иллюстрации на рис. 8.3 приводится соответствующая процедура для двоичного кода длины 63. Каждая компонента спектра здесь задается как 6-битовое двоичное число, а вектор спектра представлен как список 63 6-битовых чисел. Кодовое слово также представлено списком 63 6-битовых двоичных чисел, но с тем ограничением, что в каждом 6-битовом числе только бит наименьшего порядка может быть отличен от нуля. Таким образом, в действительности кодовое слово является 63-битовым двоичным словом. Мы хотим задать спектральный вектор так, чтобы сигнальный вектор был двоичным кодовым словом подобного вида. Теорема 8.2.1 дает нам ограничения, необходимые для построения подходящего спектрального вектора.

Хотя построение кода длины 63 можно выполнить сразу, мы предварительно рассмотрим более простой пример, а именно построим в частотной области (7,4)-код Хэмминга, используя теорему 8.2.1. Такое построение показано на рис. 8.4. В качестве проверочных частот выбраны компоненты Су и Сг, так что одиночная ошибка может быть исправлена. Информация заключена в частотных компонентах Со и Cg. Остальные частоты заполняются согласно ограничениям, даваемым теоремой: С = С = С == О и С = Cg = Cg. Согласно теореме 8.2.1, Cg = С, и, следовательно, Со может иметь только значения О или 1. Эквивалентное «битовое содержание» компоненты Со равно одному биту, а эквивалентное битовое содержание координаты Cg равно трем битам. Таким образом, для однозначного задания спектра надо исполь-

It равных нулю проверочных компонент

Спектральный вектор

(убовлетворяющий условиям сопряженности)

Со с,

Zt нулей

-60 Сб, Сбг

СбО Сб1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 fumoe

6 битов

Пять старших битов равны нулю

Рис. 8.3. Кодирование кодом БЧХ с помощью преобразования Фурье.

зовать четыре информационных бита кода Хэмминга. Эти информационные биты связаны с частотной, а не с временной областью.

В общем случае числа по модулю п разбиваются на классы сопряженных элементов:

Если спектральная компонента C задана, то каждая другая спектральная компонента, индекс которой принадлежит классу сопряженных с / элементов, является степенью Cj и, следовательно, не может выбираться произвольно. Далее, если мощность этого класса сопряженных элементов равна г, то

Cf=C., т.е. Cf- = 1.

КоЗоеые слова 6 частотной области

Кобовые слова 60 временной о&ласти

Со С, с 2 Сз с, Сб

Со С] с 2 Ci С4 Cs Сб

Рис. 8.4. (7,4)-код Хэмминга.

Следовательно, мы не можем произвольно выбирать элемент из GF {q") Б качестве возможного значения для Су. допустимы или только те элементы поля, порядок которых делит q - 1, или нулевой элемент. Порядок каждого элемента поля GF (q) делит qm - 1; следовательно, q - 1 делит q" - 1, и ясно, что мощность каждого класса сопряженных элементов делит т.

Для описания кодера разобьем множество q" - 1 чисел на классы сопряженных элементов и выберем по одному числу из каждого класса в качестве представителя. Эти представители единственным образом определяют значимые символы. Для формирования кода БЧХ в качестве проверочных частот выбираются 2t спектральных компонент, которые полагаются равными нулю. Остальные значимые символы являются информационными и могут принимать произвольные значения с учетом ограничений на порядок. Все остальные символы, индексы которых принадлежат тому же классу сопряженных элементов, не являются свободными; они образуют связанные частоты.

На рис. 8.5 изображена ситуация для поля GF (64). В первый столбец вносятся компоненты свободных частот. Если выбрать Су, Сг, Сз, С4, С5 и Св в- качестве проверочных частот, то получится