= (х* + л: + 1) (х .х- + х + 1) =

= х« + + х« + л:* + 1.

Поскольку степень g (х) равна 8, п - k = 8. Отсюда k = 7, и мы получили порождающий многочлен (15, 7)-кода БЧХ, исправляющего 2 ошибки. Отметим, что коды БЧХ строятся по заданным nut. Значение k не известно, пока не найден g{x).

Тем же способом мы можем построить порождающий многочлен для другого примитивного кода БЧХ длины 15.

Пусть t = 3:

g (х) = НОК Ih (х), и /з {X), h (х), h (х), fe (х) ] -= (* + X + 1) (х* +х +х + х + 1) {х +

+ х + 1) = Х" +Х -f + X* Х + X + 1.

Получился порождающий многочлен для (15, 5)-кода БЧХ, исправляющего три ошибки. Пусть t = А:

g (X) = НОК [h (х), к W. h {х), и (х), h (х), /е (х), fAx), fs{x)] = {x +х +\) {х+х + + Х + X + 1) (Х + X + 1) (X* + х« + 1) = = х* + х1« + х + х" + х" + Х« + х« -f 4- 4- х« + х + X* + х» + X* + X -f 1.

Получился порождающий многочлен для (151)-кода БЧХ. Это простой код с повторением, исправляющийсемь ошибок.

Пусть = 5, 6, 7. Каждый из этих случаев приводит к такому же порождающему многочлену, как и при = 4. При t >7 код БЧХ не определен, поскольку ненулевых элементов поля GF (16) всего 15.

В табл. 7.2 приведено представление поля GF (16) как расширение поля GF (4), построенное по примитивному многочлену р (г) = Z -\-2. Эта таблица содержит также минимальные многочлены над GF (4) для всех элементов из поля GF (16), где а = Z - примитивный элемент.

Порождающий многочлен для исправляющего одиночные ошибки кода БЧХ надС (4) длины 15 находится следующим образом:

g{x) - НОК Ihix), /,(х)] =

- (х" -I- X -f 2) (х" X -f 3) - X* -f X -f 1.

Получился порождающий многочлен для (15, 11)-кода БЧХ над GF (4), исправляющего одиночные ошибки. Этим кодом последовательность И четверичных символов (что эквивалентно 22 би-

Представления поля OF (4)

0-f(4)

там) кодируется в последовательность 15 четверичных символов. Такой код не является кодом Хэмминга.

Таким же образом мы можем найти порождающие многочлены для других кодов БЧХ над GF (4) длины 15.

Пусть t = 2:

g (х) = НОК [/i (х), к (х), h W, /4 W] =

= (х +х + 2) {х + х + 3) {х" + Зх -(- 1) = = х« + Зх + X* + х« + + 2х + 1.

Получился порождающий многочлен для (15, 9)-кода БЧХ над GF (4), исправляющего две ошибки.

Таблица 7.2

19Q гл. 1. КОДЫ еоУЗА-ЧОУдХУРИ-ХОКВИНГЕМА

Пусть = 3:

g (х) = х" + 3x8 3j7 j -\- x* + 2х« + x + 2.

Это дает (15, 6)-код БЧХ над GF (4), исправляющий три ошибки. Пусть = 4:

g (х) = + х" + 2x8 + Зх + Зх« Ь л; + Зх« + х + x + 3.

Это дает (15, 4)-код БЧХ над GF (4), исправляющий четыре ошибки.

Пусть t Ъ:

g (х) = х + 2х" + Зх" + гх" + 2x8 4 7 3je + Зх* + Зх + х + 2.

Это дает (15, 3)-код БЧХ над GF (4), исправляющий пять ошибок. Пусть -- 6:

g (х) = х" + х" + х + + " + + J* +

+ х + х« + х5 + x* + х + х + x -f 1.

Получается (15, 1)-код БЧХ над GF (4), исправляющий шесть ошибок. Это простой код с повторением, который в действительности исправляет семь ошибок.

Теперь мы дадим формальное определение кода БЧХ. Оно будет более общим, чем данное выше определение примитивного кода БЧХ, так как в качестве корней g (х) будут браться 2t последовательных степеней произвольного элемента Р поля (не обязательно примитивного элемента). Длина кода будет равна порядку элемента Р, т. е. такому наименьшему п, для которого Р" =

Определение 7.1.1. Пусть заданы g и т, и пусть Р - любой элемент GF (q") порядка п. Тогда для любого положительного целого числа t и любого целого числа /о соответствующий код БЧХ является циклическим кодом длины п с порождающим многочленом

g{x) = UOKlfjAx), h.+i(x), . - f/.-b2/-,(x)l,

где fj (х) - минимальный многочлен элемента рЛ

Часто выбирают /о 1, что, как правило, (но не всегда), приводит к многочлену g (х) с наименьшей степенью. Обычно требуется большая длина кода, и тогда выбирается элемент Р поля с наибольшим порядком, т. е. примитивный элемент.