элемент поля. В этом случае в таблице умножения можно использовать X в качестве основания логарифмов, и это самое простое из возможных оснований. Такое построение поля можно осуществить с помощью простых многочленов специального частного вида, называемых примитивными.

Определение 4.5.5. Примитивным многочленом р {х) над полем GF (q) называется простой многочлен над GF (q), такой, что в расширении поля, построенном по модулю р {х), соответствующий многочлену х элемент поля является примитивным.

Для каждого поля Галуа существуют примитивные многочлены всех степеней, но доказательство этого результата мы откладываем до конца следующего параграфа. Предваряя этот результат, можно сказать, что примитивный многочлен представляет собой простой многочлен, корнем которого является примитивный элемент поля.

4.6. СТРУКТУРА КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

Ранее в данной главе мы изучали, как строить поле. Предполагая, что можно найти простой многочлен степени п над полем GF (р), мы научились строить конечное поле с р" элементами.

Теперь изменим точку зрения на противоположную. Вместо того чтобы строить поле, предположим, что нам дано конечное поле, и докажем, что независимо от происхождения этого поля всегда можно предполагать, что оно построено соответственно идеям, изложенным в предыдущих параграфах. Никаких других полей так построить нельзя.

В процессе работы над материалом данного параграфа мы углу-бимТнаше понимание структуры конечных полей. Структурные свойства будут полезны во многих приложениях. Мы докажем также, что для всех полей Галуа существуют простые многочлены всех степеней.

Определение 4.6.1. Число элементов наименьшего подполя поля GF (q) называется характеристикой поля GF (q).

Теорема 4.6.2. Каждое поле Галуа содержит единственное наименьшее подполе, число элементов которого равно простому числу. Следовательно, характеристика каждого поля Галуа является простым числом.

Доказательство. Поле содержит элементы О и 1. Для задания подполя рассмотрим подмножество G = 0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + + 1, обозначая его элементы через {О, 1, 2, 3, ...\. Это

подмножество является циклической группой по сложению, которая должна содержать конечное число р элементов. Мы покажем, что р - простое число и что G = GF (р). Сложение в G

является сложением по модулю р, так как G образует циклическую группу по сложению. В силу закона дистрибутивности умножение также должно быть умножением по модулю р, ибо

а-Р = (1 + ••• + 1)-Р = Р + ••• + Р,

где элемент р суммируется а раз и суммирование ведется по модулю р. Следовательно, умножение также является умножением по модулю р. По умножению каждый элемент обратим, так как последовательность р, 2р, Зр, ...) образует циклическую подгруппу в G.

Таким образом, подмножество G содержит единичный элемент, замкнуто отк(осительно операций сложения и умножения и содержит элементы, обратные его элементам и по сложению, и по умножению. Следовательно, оно является подполем, и арифметика в этом подполе есть арифметика по модулю р. Но это в точности поле, описываемое теоремой 4.2.3, и, следовательно, р должно быть простым. □

В поле Ралуа GF {q) мы построили подполе GF (р), где р - простое число. В частности, если q, с которого мы начинаем, само является простым числом, то, как мы видим, поле GF (q) можно интерпретировать как поле чисел по модулю q. Следовательно, для заданного простого числа действительно существует только одно поле с данным числом элементов, хотя, конечно, оно может быть представлено многими разными способами. Два поля, различающиеся только представлениями, называются изоморфными.

Мы увидели, что исходное поле GF {q) является расширением подполя GF (р). Теперь мы рассмотрим многочлены над GF (р), корнями которых являются некоторые выбранные элементы поля GF (q). Для большей точности введем следующее определение.

Определение 4.6.3. Пусть GF (q) - некоторое ноле, пусть GF (Q) -расширение поля GF (q), и пусть р - элемент GF (Q). Простой многочлен / (х) наименьшей степени над GF (q), для которого / (Р) = О, называется минимальным многочленом элемента р над GF (q).

Мы должны доказать, что минимальный многочлен всегда существует и является единственным.

Теорема 4.6.4. Каждый элемент р из GF (Q) имет единственный минимальный многочлен над GF (q). Если минимальный многочлен элемента Р равен f [х) и р является корнем многочлена g (х), то f {х) делит g {х).

Доказательство. Прежде всего р всегда является корнем многочлена л"? - х, представляющего собой многочлен над GF (q). Воспользуемся теоремой об однозначном разложении:

где множители в правой части - все простые многочлены над полем GF (q). Если 3 - корень левой части, то в правой части должен найтись некоторый член, корнем которого является р. Это может быть только один из членов правой части, так как над расширением GF (Q) простые многочлены дальше разлагаются в произведение линейных членов и констант, и р может быть корнем только одного из линейных членов

Чтобы доказать вторую часть теоремы, положим

g{x) = f (х) h{x) + s (х),

где степень многочлена s (х) меньше степени / (х), так что р не может быть его корнем. Но

О = g (Р) = / (Р) /I (Р) + S (Р) = S (Р);

следовательно, s{x) должен равняться нулю, и теорема доказана. □

Следствие 4.6.5. Если {х), (х) -все различные мно-

гочлены над GF (q), являюииеся минимальными для одного или нескольких элементов из GF (Q), то

xQ -x = f,ix)h{x) ...h{x).

Доказательство следует из теоремы, так как каждый такой элемент р является корнем многочлена х -х. □

При Q = q разложение сводится к равенству

X? - X = X (X - Pi) (X - р,) ... (X - p, i).

которое мы уже встречали в теореме 4.5.2. Минимальный многочлен над GF (q) элемента р, принадлежащего GF (q), является многочленом первой степени / (х) = х - р.

Теорема 4.6.6. Пусть g (х)-произвольный многочлен над GF (q). Тогда существует расширение GF (Q), в котором g (х) распадается на произведение линейных множителей.

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что g- (л:) приведен. Построим последовательность расширений

GF (q) с= GF (Q,) с= GF (Q,) с= - • • с Gf (Q)

по следующему правилу. На каждом шаге запишем g (х) в виде произведения простых многочленов над GF (Qj). Если еще имеются нелинейные множители, то выберем один из них, скажем gj (х), и построим расширение поля GF (Qj), используя gj (у) в качестве простого модуля. В этом расширении g (х) можно разложить далее, поскольку новый элемент Р = г/ является корнем многочлена gj (х). Таким образом (в случае необходимости унифицируя обозначения) будем действовать до тех пор, пока все множители не станут линейными. Поскольку степень g (х) конечна, этот процесс закончится после конечного числа шагов, П