2.7. Рассмотрим множество S {О = 1, 2, 3} с операциями

Является ли оно полем?

2.8. Пусть G - произвольная группа (не обязательно конечная). Для удобства назовем групповую операцию умножением, а единичный элемент единицей. Пусть g - произвольный элемент, а v (если оно существует) - наименьшее целое чррсло, такое, что = I, где означает gg- ... -g (v раз). Тогда V называется порядком элемента g. Доказать, что подмножество {g, g, .... v-i g-i образует подгруппу группы С. Доказать, что эта подгруппа абелева, даже если G не является абелевой.

2.9. Доказать теоремы 2.3.3 и 2.3.4.

2.10. Пусть задано некоторое кольцо с единицей 1, и пусть а-Ь= 1. Доказать эквивалентность следующих утверждений:

(i) i6 - левый обратный к а;

(ii) если ох = О, то л; = 0;

(iii) если уЬ = О, то у = 0.

Замечание. В некоторых кольцах условие (ii) не выполняется. В таких кольцах элемент может иметь только правый обратный или только левый обратный.

2.11. Поле из четырех элементов CF (4) задается арифметическими таблицами

Решить в CF (4) систему уравнений

2х+ у= 3, х+2у= 3.

2.12. Поле с тремя элементами GF (3) задается арифметическими таблицами

Вычислить определитель матрицы

и доказать, что ее ранг равен 3. 2.13. Привести матрицу

2 1 2 1 1 2 I О 1

110 1" I О 1 I 0 110 0 10 1

к каноническому ступенчатому виду. Можно ли решить задачу, не конкретизируя поле? Почему?

2.14. Сколько векторов содержит векторное пространство GF" (2)?

2.15. Верно ли, что если векторы х, у и z - линейно независимы над GF (q), то и векторы х+у, y+z и z+x линейно независимы?

2.16. Суш;ествует ли над полем GF (q) векторное пространство, содержаш;ее 24 элемента и имеюш;ее размерность, большую 1?

2.17. Пусть S и Т - различные двумерные подпространства трехмерного векторного пространства; доказать, что их пересечение образует одномерное подпространство.

2.18. Пусть S-произвольное конечное множество, и пусть О - множество подмножеств из элементов S. Для двух подмножеств А я В обозначим через А и В подмножество, состояш;ее из элементов, принадлежаш;их хотя бы одному из Л и В , через А f] В множество элементов, принадлежащих как А, так и В, а через А - В множество элементов, принадлежащих Л и не принадлежащих В.

а. Доказать, что относительно операции объединения множеств {] множество G не является группой.

б. Теоретико-множественная операция симметрической разности Л определяется равенством

ЛАВ= (Л - В) и (В -Л).

Доказать, что если в качестве групповой операции в G выбрать симметрическую разность, то О на самом деле будет группой. Является ли эта группа абелевой?

в. Доказать, что относительно операций А и (") множество О образует кольцо. Является ли это кольцо коммутативным? Имеется ли в нем единица?

2.19. Поле с бесконечным числом элементов, содержащее конечное поле, также называется полем Галуа. Пусть F - множество всех формальных выражений вида

rJ-X

щх / bjxf М=0 \/=0

где / и J - некоторые положительные целые числа, а Oj и fej - элементы поля GF (3) Предложить свои собственные определения операций сложения и умножения, такие, чтобы множество F превратилось в поле Галуа с бесконечным числом элементов.

1) Не требующее предварительной подготовки хорошее изложение начал линейной алгебры и теории матриц можно найти также в книге: Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - 4-е изд. - М.: Наука, 1985. Более углубленное изложение содержится в следующих книгах: Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - 11-е изд.-М.: Наука, 1975; Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. - 4-е изд. - М: Наука, 1975.-Прим. перге.

ЗАМЕЧАНИЯ

В этой главе рассматривался обычный материал современной алгебры. Можно указать много учебников, в которых этот материал излагается более детально. В качестве легко усваиваемого вводного курса, по уровню достаточного для данной книги, мы рекомендуем книгу Биркгофа и Маклейна [1953]. Монография Ван дер Вардена [1950, 1953] представляет собой курс более высокого уровня, адресованный в основном математикам и углубленно излагающий многие вопросы. Материал по линейной алгебре и теории матриц можно найти также и в учебниках, специально посвященных этим разделам алгебры. Особенно подходящей является книга Тралля и Торнгейма [1957], так как она не предполагает никакой предварительной подготовки).

Поля Галуа названы в честь Эвариста Галуа (1811-1832). Абелевы группы названы в честь Нильса Хенрика Абеля (1802-1829).