попадает в этот тетраэдр, то декодирование объявляется неудачным. Декодер является неполным, и его области декодирования лежат в евклидовом пространстве.

ЭМР-декодер находит единственное кодовое слово, удовлетворяющее теореме 15.3.1, если оно существует; в противном случае декодирование объявляется неудачным. Конечно, находить это кодовое слово, вычисляя все 2 скалярных произведений, непрактично. Опишем практический способ нахождения этого кодового слова. Идея состоит в следующем.

Мы уже знаем, как построить декодеры, исправляющие ошибки и стирания, полученные в результате жестких решений. Любой декодер, исправляющий ошибки и стирания, можно дополнить внешней петлей обработки данных. Основываясь на информации мягкого решения, этот модернизированный декодер вычисляет последовательность пробных векторов жесткого решения со стиранием. Для каждого / от О до d* - 1 он стирает / компонент, для которых I Vl I минимальны. (Если для некоторых / в силу равенства неско/[ьких компонент выбор этих / компонент неоднозначен, то соответствующее / опускается.) Совокупность нестертых компонент отображается в нули или единицы в зависимости от знака Vl. При этом над GF (2) формируется вектор v<) со стираниями.

Декодируем v(>, используя декодер, исправляющий ошибки и стирания. Если декодирование дало кодовое слово с, то проверим выполнение неравенства v-Cr>-n - d*. Если это неравенство выполняется, то с объявляется ОМР-декодированным кодовым словом. В противном случае / увеличивается и процедура повторяется до тех пор, пока ./ не превзойдет d* - 1; в последнем случае декодирование объявляется неудачным.

На рис. 15.5 представлен ОМР-алгоритм в недвоичном случае. Теоремы 15.3.2 и 15.3.4 утверждают, что ОМР-алгоритм, представленный на рис. 15.5, Б самом деле декодирует в единственное ОМР-кодовое слово. Заметим, что алгоритм, изображенный на рисунке, проверяет неравенство лишь при четных /. Этого достаточно, так как при изменении числа стираний на два число ошибок, которые можно исправить, изменяется на единицу.

Теорема 15.3.2. Если v-c > п - d*, то хотя бы одно слово v<), / = О, d* - 1, удовлетворяет неравенству

vO-c, >п -d*.

Доказательство следует из доказательства теоремы 15.3.4, являющейся более общей формой нашей теоремы. □

Теперь обобщим ОМР-декодеры на недвоичные коды. Сложность ОМР-декодера приблизительно в (d* - 1)/2 раз выше, чем декодера для кода, исправляющего ошибки и стирания. Поня-

Найти d -1 компонент, маркированных /, бля которых а минимальны, U упоряйочить их по величине

Поставить отметки о стирании при

Обратиться к йекойеру, исправляющему ошибки U стирания

НеуВачное йекобирование

Стоп - С;, праеильное коЭовое слово

Cmon-неубачное йекобирование

Рис. 15.5. ОМР-алгоритм.

тие обобщенного расстояния естественным образом распространяется на недвоичные сигналы точно так же, как распространяется хэммингово расстояние. Как при определении хэммингова расстояния, так и при определении обобщенного расстояния недвоичная природа символов игнорируется и задача сводится

6 (v, v) = {

к двоичной, при которой лишь учитывается, совпадают или нет два символа, а их величины не принимаются во внимание. ОМР-декодер в недвоичном случае почти не меняется.

На выход демодулятора поступают д-ичные символы, каждый из которых характеризуется своей оценкой Vt, элементом GF (q) и доверительным уровнем ttj, О < < 1, измеряющим надежность оценки. Если равно единице, то принятый символ равен Vt с максимальным доверительным уровнем; если а; равно О, принятый символ равен Vt с минимальным доверительным уровнем.

Как и в двоичном случае, для алгоритма декодирования не важно, какое правило демодулятор использует для нахождения а. Он даже может всегда полагать равным единице - в этом случае он явл1ется демодулятором с жестким решением; он может полагать равным О или 1 - в этом случае он является демодулятором с жестким решением и со стиранием. Возможно также использование для нахождения at более сложной доверительной меры.

В двоичном случае мы смогли дать геометрическую интерпретацию декодирования, используя знак щ для обозначения оценки переданного двоичного символа. В GF (д)-ичном случае такой геометрической интерпретации не существует. Для определения скалярного произведения введем обозначение для любого и:

+ 1, = v,

-1, vv.

Затем определим произведение

V-C, = S afiiVi, c,i),

использование которого позволяет доказать GF (д)-ичный вариант теоремы 15.3.1. Это определение v-c удобно, но неточно, поскольку v-Cr зависит и от а.

Теорема 15.3.3. В коде над GF (q) с длиной п и минимальным расстоянием d* существует хотя бы одно кодовое слово с, для которого

V • с > п - d*.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 15.3.1. □ Алгоритм декодирования в недвоичном случае таков же, как и Б двоичном. Для любого / из интервала [О, d* - 1 ] сотрем компоненты, для которых щ минимальны. При этом получим над GF (q) слово vO со стираниями. Начиная с /, равного О, декодируем v<), используя декодер, исправляющий ошибки и стирания. Для декодирования v) в с проверяется неравенство v-c > >•« - d*. Если оно удовлетворяется, то с объявляется ОМР-