Более того, можно так сконструировать систему передачи, чтобы она обеспечивала надежную передачу при любом положительном е и

Доказательство. Из формулы Шеннона для пропускной способности вытекает, что при любом положительном е может быть

Доказательство. Ширина полосы W в теореме не ограничена. Заменим в формуле Шеннона для пропускной способности S на REf, и устремим W к бесконечности. Тогда

R < (REb/No) loge,

откуда непосредственно следует утверждение теоремы. □

Если отношение ЕъШо измеряется в децибелах, то наше неравенство переписывается в виде

Eb/No-l,b дБ,

так что значение EIN = -1,6 дБ устанавливает нижний предел для допустимого отношения EINq. Экспериментально установлено, что при отношении EINq, приблизительно равном или большем 12 дБ, выбор сигнала, обеспечивающего малую частоту ошибки на бит, не представляет труда. Следовательно, проблема выбора сигнала возникает лишь в том случае, когда отношение EJNq лежит между этими двумя числами и ширина области составляет примерно 14 дБ. Для этой области и производится сравнение структур сигналов, выбираемых для канала с гауссовским шумом.

в случае когда предоставляется лишь ограниченная ширина полосы, требования на энергию становятся жестче. Определим спектральную скорость г в битах (измеряемую в битах в секунду на герц) как

г = RIW.

Спектральная скорость г в битах и EblN представляют собой две важнейшие характеристики цифровой системы связи.

Теорема 15.2.2. Пусть г - спектральная скорость в битах для некоторой цифровой системы связи. Тогда

Еъ 2-!

5 -

о 1 А

о:! 3

В этой области не существует ни ойной цифровой системы связи

Аля любой точки этой области может Быть построена цифровая система связи

Рис. 15.2.

1 г 3 5

Энергия E/N, Дж/(Вт/Гц)

достигнута скорость передачи информации R, удовлетворяющая неравенству

Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы. □

Последняя теорема утверждает, что возрастание скорости передачи в битах на единицу полосы увеличивает требуемую энергию на один бит. Она является основой соотношений между энергией и шириной полосы в цифровой теории связи, где возрастание ширины полосы при фиксированной скорости передачи информации может ослабить энергетические требования.

Утверждение теоремы 15.2.2 иллюстрируется рис. 15.2. Любая система связи может быть описана точкой, лежащей ниже приведенной кривой, и для любой точки ниже этой кривой можно сконструировать систему связи, у которой частота ошибки на бит может быть сделана настолько малой, насколько это желательно. История цифровой связи в какой-то степени представляет собой серию попыток приблизить системы к этой предельной кривой, сохраняя очень низкую частоту ошибок на бит. Такие системы используют как модемную технику, так и методы исправления ошибок.

В некоторых цифровых системах связи водораздел между модемом и кодеком четко не обозначен. Демодулятор передает дополнительную информацию, которая помогает декодеру улучшить его характеристики. Это можно сделать многими способами. Например, в двоичном канале можно использовать приемник, у которого каждому принятому биту соответствует выходной

is.a. мЯгКоЁ ДЕКОДИРОВАНИЕ БЛОКОВЫХ кодов 531

сигнал из трех бит. Он называется обнаружителем с мягким решением. Комбинация, состоящая из трех нулей, соответствует тому, что «уверенно» был принят нуль, а комбинация, состоящая из трех единиц, соответствует «уверенному» приему единицы. Другие комбинации трех двоичных символов соответствуют различным степеням неопределенности в приемнике. Для улучшения декодирования декодер может использовать эти мягкие решения. Мы уже знакомы с простейшим вариантом мягких решений - двоичным стирающим каналом. Три значения выходного сигнала приемника могут быть обозначены через 10 (жесткий нуль), 01 (жесткая единица) и 00 (стирание).

Другим примером мягкого решения является списочное декодирование в о-ичном канале. Вместо одного наиболее вероятного значения каждого символа демодулятор выдает два4,или три наиболее вероятных значения, иногда приписывая каждому из них некоторую вероятностную Mcpy.j

Конечно, если код фиксирован, то декодеры, использующие информацию мягкого решения, имеют, вообще говоря, лучшие характеристики; поэтому можно выбирать декодер, исходя из этих соображений. Однако такой подход не является бесспорным. Прежде всего системы с мягким решением достигают своих потенциальных возможностей только в том случае, когда статистика шума в канале достаточно стационарна и достаточно хорошо поддается моделированию. Если же шум прерывистый и переменный во времени или недостаточно хорошо известен, то следует предпочесть жесткое решение или жесткое решение со стиранием. Кроме того, декодер с мягким решением дороже. Если стоимость системы фиксирована, то длина кода, используемого с декодером с мягким решением, меньше, чем кода, используемого с декодером с жестким решением. Следовательно, декодер с мягким решением не обязательно является лучшим. Декодер с жестким решением может иметь лучшие характеристики, чем декодер с мягким решением, использующий код, у которого длина меньше. Иногда система с мягким решением лучше удовлетворяет практическим требованиям. В других случаях лучше использовать систему с жестким решением, так как она позволяет использовать более мощ-ный код. Выбор той или иной возможности является трудной инженерной задачей, которую нельзя правильно решить, исходя лишь из теоретических соображений.

15.3. МЯГКОЕ ДЕКОДИРОВАНИЕ БЛОКОВЫХ КОДОВ

Вероятность ошибки декодирования минимизируется одновременным выбором демодуляции и декодирования. Модулятор отображает кодовых слов в сигналов Sr{f), где г = 1, q.