утверждения для ранга матрицы по столбцам, и, таким образом, доказывается, что ранг по строкам равен рангу по столбцам.

Подматрица матрицы А получается выбрасыванием из А некоторого числа строк и столбцов. Пусть М - невырожденная квадратная подматрица матрицы А наибольшего размера. Согласно теореме 2.6.3 (viii), строки матрицы М линейно независимы, и, следовательно, их продолжения до строк матрицы А также должны быть линейно независимыми. Следовательно, ранг матрицы А по строкам не меньше размера матрицы М.

С другой стороны, выберем произвольное множество из k линейно независимых строк матрицы А. Согласно теореме 2.6.7, матрица, образованная такими строками, имеет k линейно независимых столбцов. Таким образом, определитель матрицы, составленной из расположенных на пересечении этих k столбцов и этих k строк элементов, будет отличен от нуля. Следовательно, размер наибольшей невырожденной подматрицы не меньше ранга ма трицы А по строкам. Это завершает доказательство. □

Пусть А-квадратная (пХп)-матрица с ненулевым определителем. Тогда, согласно теоремам 2.6.4 и 2.6.7, ее каноническая ступенчатая форма является (пХп)-матрицей, все строки которой отличны от нулевой, и, следовательно, представляет собой единичную матрицу. Так как А может быть получена из I обращением последовательности элементарных операций над строками, то А можно записать через элементарные матрицы:

A=FiF2-

Теорема 2.6.8. Если в кольце {пХп)-матриц над полем F С = АВ, то

det (С) = det (А) det (В).

Доказательство. Шаг 1. Сначала покажем, что если det (А) или det (В) равны нулю, то и det (С) равен нулю. Предположим, что det (В) равен нулю; тогда по теореме 2.6.3 (viii) строки матрицы В линейно зависимы. Но строки матрицы С являются линейными комбинациями строк матрицы В. Следовательно, строки матрицы С линейно зависимы и det С равен нулю. Аналогично исследуется случай, когда det (А) равен нулю.

Шаг 2. Предположим, что det (А) не равен нулю. Тогда матрицу А можно записать в виде произведения элементарных матриц:

А = PjPg . . .

где строками являются базисные векторы. Ранг этой матрицы равен k, и размерность пространства столбцов матрицы G равна k. Вектор V принадлежит W, если

Gv = О,

так как в этом случае он ортогонален к каждому базисному вектору. Пусть {hj, h} -базис подпространства W-. Пополним этот базис до базиса всего пространства {h, h, fi, .... fn-r}. Теперь вектор v из пространства столбцов матрицы G запишется в виде v = №, где вектор b представляет собой некоторую линейную комбинацию базисных векторов. Следовательно, каждый вектор в пространстве столбцов матрицы Q

Каждая из матриц F; соответствует элементарной операции над строками матрицы А, и, следовательно, согласно пп. (iii), (v) и (vii) теоремы 2.6.3, имеем

det (АВ) = det [(F1F2 ... F,) В] = det [Fi (Fa . • FB)] = - (det Fi) det (Fa . •. FB) = (det Fi) (det Fa) .. -

... (det F,) (det B).

При В = I это дает

det (A) == (det Fi) (det Fa) ... (det F,).

Подставляя пбследнее равенство в формулу для случая произвольной В, получаем det (АВ) = det (А)-det (В), что и требовалось доказать. □

Одно из следствий этой теоремы состоит в том, что если С = = АВ, то матрица С обратима тогда и только тогда, когда обе матрицы А и ,В обратимы, так как квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Заканчивая данный параграф, завершим работу, оставшуюся от предыдущего параграфа.

Теорема 2.6.9. Если размерность подпространства W векторного пространства всех п-последовательностей равна k, то размерность его ортогонального дополнения W- равна п - k.

Доказательство. Пусть {g, g} -базис подпространства W; определим матрицу G равенством

ЗАДАЧИ 57

Должен записываться в виде линейной комбинации векторов {Ghl, Ghl GK, Gfl, Gf; ,)-

Покажем теперь, что векторы {Gfl, Gf ) образуют

базис пространств столбцов матрицы G. Так как GhT = О, то это множество порождает пространство столбцов матрицы G. Далее, эти векторы линейно независимы, так как если

щ (Gfl)+ .-. +a„ ,(Gf; ,)=0,

и поэтому = Й2 = = п-г = 0. поскольку единственной линейной комбинацией векторов f, f„ r, принадлежащей нулевому пространству матрицы G, является нулевой вектор 0. Следовательно, {Gfl, Gin-А образуют базис пространства столбцов матрицы G. Таким образом, п - г = k, что и доказывает теорему. □

ЗАДАЧИ

2.1. Используя вращения и отражения, отображающие на себя пятиугольник, можно построить группу.

а. Сколько элементов содержит эта группа?

б. Является ли эта группа абелевой?

в. Построить эту группу.

г. Найти в этой группе подгруппу, содержащую пять элементов, и подгруппу, содержащую два элемента.

д. Существует ли подгруппа этой группы, содержащая четыре элемента? Почему?

2.2.а. Доказать, что существует только одна группа, содержащая три элемента. Построить эту группу и доказать, что она абелева.

б. Доказать, что существуют только две группы, содержащие четыре элемента. Построить эти группы и доказать, что они абелевы. Доказать, что одна из этих групп с четырьмя элементами не содержит элемента четвертого порядка (эта группа называется четвертой группой Клейна).

2.3. Пусть групповая операция в группах из задачи 2.2 называется сложением.

а. Определить умножение так, чтобы превратить эту трехэлементную группу в кольцо. Единственно ли оно?

б. Для каждой из четырехэлементных групп определить умножение так, чтобы превратить их в кольца. Единственны ли эти кольца?

2.4. Какие из трех колец задачи 2.3 являются также и полями? Можно ли задать умножение другим способом и получить при этом поле?

2.5. Доказать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) не образует группу относительно операции вычитания.

2.6. Привести пример кольца без единицы.