det (А), i = /, й=1 - - I О i/.

Поэтому если det (А) Ф О, то матрица А = [Cjj-] имеет обратную, равную

. det (А) J *

Если det (А) = О, то обратной матрицы не существует.

Строки (п X т)-матрицы А над GF {q) можно рассматривать как множество т-мерных векторов над GF (q). Пространство строк матрицы А определяется как множество всех линейных комбинаций вркторов-строк матрицы А. Размерность пространства строк называется рангом матрицы по строкам. Аналогично столбцы матрицы А можно рассматривать как множество п-мер-ных векторов над GF (q). Пространство столбцов матрицы А определяется как множество всех линейных комбинаций векторов-столбцов матрицы А, а размерность пространства столбцов называется рангом матрицы по столбцам. Множество всех векторов V, таких, что Av = О, называется нулевым пространством матрицы А. Ясно, что нулевое пространство является подпространством в GF" (q). В частности, нулевое пространство является ортогональным дополнением пространства строк матрицы А, так как нулевое пространство можно задать как множество всех векторов, ортогональных ко всем векторам пространства строк.

Элементарными операциями над строками матрицы называются следующие действия:

1) перестановка двух произвольных строк;

2) умножен.че произвольной строки на нулевой элемент поля;

3) замена произвольной строки на сумму ее самой и некоторого кратного любой другой строки.

Каждая элементарная операция над строками обратима, и обратная операция имеет такой же вид. Каждая элементарная операция над строками (п X п)-матрицы А может быть выполнена путем левого умножения А на соответствующим образом подобранную так называемую элементарную (п X п)-матрицу F.

меной элементов j-й строки элементами /-й строки; этот определитель равен нулю, если 1Ф i. Таким образом.

г.е. Линейная алГебрА бз

Элементарные матрицы определяются как одна из следующих модификаций единичной матрицы:

Элементарные операции над строками используются для приведения матрицы к стандартному виду, называемому каноническим ступенчатым видом и определяемому следующим образом:

1) ведущий ненулевой элемент каждой ненулевой строки равен единице;

2) все остальные элементы каждого столбца, содержащего такой ведущий элемент, равны нулю;

3) ведущий элемент любой строки находится правее любого ведущего элемента любой расположенной выше строки. Нулевые строки расположены ниже всех ненулевых строк.

Примером матрицы, приведенной к каноническому ступенчатому виду, является

1 10 13 0

0 0 110 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

Заметим, что нулевая строка расположена снизу и что если удалить последнюю строку, то все столбцы единичной (3 X 3)-матрицы появятся среди столбцов матрицы, но в разбросанном виде. В общем случае если имеется k ненулевых строк и по меньшей мере такое же количество столбцов, то матрица в каноническом ступенчатом виде всегда будет содержать все столбцы единичной матрицы размера k. Частным случаем канонической ступенчатой формы матрицы является матрица вида

А = [1; Р].

где I - единичная матрица. С помощью элементарных операций над строками каждая матрица, содержащая по меньшей мере столько же столбцов, сколько и строк, может быть приведена к каноническому ступенчатому виду, но не к указанному выше его частному случаю.

Теорема 2.6.4. Если матрицы А и А получаются одна из другой с помощью элементарных операций, то пространства строк этих матриц совпадают.

Доказательство. Каждая строка из А является некоторой линейной комбинацией строк матрицы А. Следовательно, каждая линейная комбинация строк матрицы А также является линейной ко.мбинацией строк матрицы А, и, таким образом, пространство строк матрицы А содержит пространство строк матрицы А. Но матрица А получается из матрицы А с помощью обратных элементарных операций, и, следовательно, пространство строк матрицы А содержится в пространстве строк матрицы А. Таким образом, А и ,А имеют одно и то же пространство строк. □

Теорема 2.6.5. Если матрицы А и А связаны между собой последовательностью элементарных операций над строками, то любое множество линейно независимых столбцов в А линейно независимо и в А.

Доказательство. Так как для элементарных операций над строками первогои второго вида теорема очевидна, то достаточно доказать ее только для элементарной операции третьего вида. Итак, предположим, что А получается из А прибавлением кратного строки а к строке р. В любой линейно зависимой комбинации столбцов матрицы А элементы строки а должны давать нуль и, следовательно, не оказывать никакого воздействия на строку р. Таким образом, рассматриваемое множество столбцов в матрице А также является линейно зависимым.

Теорема 2.6.6. {k X п)-матрица А, k строк которой линейно независимы, содержит k линейно независимых столбцов.

Доказательство. Приведем А к каноническому ступенчатому виду А. Так как строки линейно независимы, то ни одна из них не является нулевой. Следовательно, для каждой строки существует столбец, элемент которого в этой строке равен единице, а в каждой другой строке равен нулю. Множество из k таких столбцов матрицы А линейно независимо, и, следовательно, в силу теоремы 2.6.5 это же множество столбцов линейно независимо в А. □

Теорема 2.6.7. Ранг матрицы А по строкам равен ее рангу по столбцам и равен размеру наибольшей квадратной подматрицы, определитель которой отличен от нуля. {Поэтому данная величина называется просто рангом матрицы.)

Доказательство. Достаточно показать, что ранг матрицы А по строкам равен размеру наибольшей квадратной подматрицы с ненулевым определителем. То же самое доказательство применительно к транспонированной матрице дает доказательство