странства. Из f-плоскости получается + 1)-плоскость как минимальное векторное подпространство, каждый сдвиг которого содержит плocкocть. Иначе говоря, если Ef является /-плоскостью, то множество {-VtU I GF {q),u Et] - это минимальное векторное подпространство, содержащее Ef. Если Vf+i - любая конкретная точка в GF" (д), не принадлежащая Ef, то (/-- 1)-плоскость £(+1 определяется как множество

Еих = {vw + т I Yt€ GF (9), и б*}-

Приведем более формальное определение.

Определение 13.7.3. Евклидовой геометрией EG (m, 17) называется векторное пространство GF" (д) вместе со всеми подпространствами и сдвигами подпространств GF" (д).

Из этого определения непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 13.7.4. t-плоскость содержит ровно д* точек и сама имеет cmpyKmijpy евклидовой геометрии EG (i, 9). Можно представить t-плоскость как множество д* точек

+ + (-2-2 -----г у>

где Vj пробегает множество всех элементов GF (cj), включая нулевой, а векторы Vq, Vi, V( над GF" (q) образуют фиксированное множество линейно независимых элементов t-плоскости.

Можно называть 1-плоскость и 2-плоскость линиями и плоскостями. Эти названия связаны с тем, что определение евклидовой геометрии по идее соответствует обычному евклидову пространству с той разницей, что оно строится над конечным, а не над вещественным полем. Можно также считать, что EG (m, д), GF (q") и GF (q) состоят из одних и тех же элементов. Однако когда мы обозначаем поле через GF {q"), то имеем в виду его алгебраическую структуру, правила умножения и т. д. Когда мы обозначаем его через EG (т, д), то интересуемся его геометрической структурой, введенной определением 13.7.3. Если мы обозначаем его через GF-"" [q), то мы интересуемся его структурой как структурой векторного пространства.

Евклидова геометрия EG (3, 2) представлена на рис. 13.9. Этот пример показывает, что число f-плосксстей в евклидовой геометрии может быть довольно большим. Подсчитаем число t-плоскостей в EG (m, q). Подсчет опирается на величины, известные под названием 9-ичных гауссовских коэффициентов и определяемые соотношениями

"71 =П (9"-90/(9-90

Рис. 13.9. Евклидова геометрия EG(3, 2).

= 1.

при i = 1, 2, т и

Теорема 13.7.5.

(i) EG (т, q) содержит q"-*

где t= О, 1, т.

(ii) При любых S и t, таких, что С < s < t

различных t-плоскостей.

т, каждая s-различных t-плоскостей из

плоскость содержит точно EG (m, q).

Доказательство, (i) Можно построить -мерное подпространство, выбирая упорядоченное множество t линейно независимых точек в EG (m, q). Это можно сделать

( 1)(9п 9) ... (?--<7-1)

различными способами. Однако многие из этих множеств независимых точек приводят к одному и тому же мepнoмy подпростран-

ству. в самом деле, число множеств, приводящих к одному и тому же /-мерному подпространству, равно

т. е. равно числу способов, которыми можно выбратьупорядочен-ную последовательность независимых точек в /-мерном подпространстве. Следовательно, существует

(gm )...( .-l)

различных /-мерных подпространств. Каждое подпространство имеет 9"*- смежных классов, и поэтому существует 9"- /-плоскостей.

(ii) Заданная s-плоскость может быть расширена до /-плоскости выбором последовательности t-s независимых точек, не принадлежащих S-плоскости. Это можно сделать

. (Г-9*)(9"-9+) {(Г-я-) способами. Однако многие из этих последовательностей независимых точек расширяют s-плоскость до той же самой /-плоскости. В самом деле, число последовательностей, приводящих к одной и той же /-плоскости, равно

(9 -9)(9-9+) •• - (<7-9-)-т. е. равно числу способов, которыми можно выбрать упорядоченную последовательность независимых точек на /-плоскости, не используя точки из s-плоскости. Отношение этих двух произведений равно числу различных /-плоскостей, в которых содержится s-плоскость. Это эквивалентно утверждению, которое требовалось доказать. □

Определение 13.7.6. Вектором инцидентности подмножества множества д" элементов, маркированных индексом /, называется вектор размерности 9", i-я компонента которого равна единице, если элемент, маркированный индексом /, принадлежит этому подмножеству, и нулю в противном случае.

В нашем определении ОРМ-кода элементы GF (9") используются для нумерации компонент векторного пространства размерности п = q" (которое само содержит дч" векторов). Иначе говоря, элементы векторного пространства Gf" (9) используются для индексации п компонент векторного пространства СР" (9). Вектор инцидентности подмножества Gt" (9) - это вектор в GF (9). Если Gf" (9) определяет структуру евклидовой геометрии EG (m, 9), то вектор инцидентности плоскости в EG {т, q) является вектором в GF*" (9). Как мы увидим, вектор инцидент-