РА =

Рйщ Рп ... Ра„

(/ X п)-матрицу А можно умножить на (п X т)-матрицу В,

получив результирующую (/ X т)-матрицу С, по правилу

Сц = L «гАл I, j = I, т.

Это Произведение матриц обозначается через

С = АВ.

Как легко проверить, множество квадратных (п X п)-матриц образует кольцо относительно так определенных умножения и сложения матриц. Это кольцо не коммутативно, но обладает единицей, а именно единичной {п X п)-матрицей. Матрицу можно разбить на блоки по правилу

А2,;

где Ац, Ai2, А21 и А22 - меньшие матрицы, размеры которых очевидным образом дополняют друг друга до размеров матрицы А. А именно сумма числа строк матрицы Ац (или Aig) и числа строк матрицы Agi (или А22) равна числу строк матрицы А; аналогичное утверждение выполняется для столбцов. Матрицы можно перемножить поблочно, а именно если

в, 2

и с = АВ, то при условии корректного выбора размеров блоков (корректного в том смысле, что все произведения и суммы матриц определены)

А,,Вп --А,2В21 ; A,lB, 2 +А, 2В22 AVi в, i + A22"B2i : "AViB, 2 + А22В22

Такое разложение можко получить как простое следствие аксиом ассоциативности и дистрибутивности основного поля.

(п X /п)-матрицу А можно умножать на элемент поля р по правилу

Транспонированной к (п X т)-матрице А называется (/п X X п)-матрица А, такая, что ст, = а... Таким образом, строками матрицы Af служат столбцы матрицы А, а столбцами матрицы А служат строки матрицы А. Обратной к квадратной матрице А называется квадратная матрица А~ (если она существует), такая что А"А = А А"* = 1. Как можно сразу проверить, множество всех обратимых (п X п)-матриц образует группу относительно операции умножения. Следовательно, если матрица имеет обратную, то обратная матрица единственна, так как в силу теоремы 2.2.2 это свойство выполняется в каждой группе. Матрица, имеющая обратную, называется невырожденной; в противном случае она называется вырожденной. Если С = АВ, то при условии, что А и В обратимы, С" = В-А, так как (ВА-) С = I = = С (В-А"). Впоследствии мы увидим, что если у А или у В нет обратной матрицы, то и у С нет обратной матрицы.

Определение 2.6.2. Пусть задано поле F. Определитель квадратной (п X п)-матрицы А для каждого п является функцией на множестве бсех (п X п)-матриц над F со значениями в поле F, обозначается через det (А) и задается формулой

det(A) =ЕЪ,... t„ou-jG2,-, ... а„(,

где Il, (2, in - перестановка на множестве целых чисел {1, 2, п\, ... i„ равно ±1 в зависимости от четности или нечетности перестановки, а суммирование ведется по всем перестановкам.

Нечетная перестановка определяется как произведение нечетного числа транспозиций (транспозицией называется перестановка двух членов). Четная перестановка определяется как перестановка, которая не может быть получена нечетным числом транспозиций.

Один из способов сделать это определение наглядным состоит в рассмотрении множеств всех матриц, которые можно получить из матрицы А перестановкой строк. Для каждой из таких матриц возьмем произведение всех членов, лежащих на главной диагонали (если перестановка была нечетной, то изменим знак произведения), и сложим все полученные таким образом произведения. Конечно, вычислять таким образом определитель не следует, но это дает хороший способ установления свойств определителей.

В приведенной ниже теореме перечислены свойства функции det (А), вытекающие непосредственно из ее определения.

Теорема 2.6.3.

(i) Если все элементы некоторой строки квадратной матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.

(ii) Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

(iii) Если две строки матрицы поменять местами, то ее определитель изменит знак.

(iv) Если две строки матрицы равны, то ее определитель равен нулю.

(у) Если все элементы одной строки матрицы умножить на элемент поля с, то определитель новой матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженной на с.

(vi) Если матрицы А и В отличаются только i-u строкой, то сумма их определителей равна определителю матрицы С, i-я строка которой равна сумме i-x строк матриц А и В, а остальные строки равны соответствуюиим строкам матрицы А или В.

(vii) Если к элементам некоторой строки матрицы k раз прибавить соответствуюш,ие элементы некоторой другой ее строки, то определитель матрицы не изменится. Доказательство: использовать свойства (iv), (v) и (vi).

(viii) Определитель матрицы отличен от нуля тогда и только тогда, когда ее строки {столбцы) линейно независимы.

Доказательство пргдоставляется читателю в качестве упражнения. Замечание: в общем случае утверждение (iv) не может быть доказано с помощью перестановки двух строк и применения CBoiicTBa (iii). Почему? □

Если в квадратной матрице удалить строку и столбец, содержащие элемент а;, то определитель оставшейся квадратной таблицы размера п - 1 называется минором элемента ац и обозначается через Mij. Алгебраическое дополнение, обозначаемое здесь через Cj-, определяется равенством

Си = (-1)"+"Лй-

Из способа задания определителя матрицы следует, что алгебраическое дополнение элемента ац является коэффициентом при ajj в разложении определителя:

det (А) = X] G/ftCjft.

Эго известная формула Лапласа для разложения определителей. Она дает выражение определителя (п X п)-матрицы через определители (п - 1) X (п - 1)-матриц. Формула разложения Лапласа лежит в основе рекуррентного способа вычисления определителей.

Если Gift заменить на aju, то получится сумма Yii!=\aikCik, равная определителю новой матрицы, полученной из старой за-