W является подпространством. Если w = bjVi + ... + Ьу и U = CiVj + ... + CkVj - два произвольных элемента подмножества W7, то W + U = (&1 + Ci) Vi -Ь ••• + {bh + Cji) Vk также принадлежит W. Далее, для произвольного вектора w скалярное кратное вектора w, aw = ab-v + ••• + аЬу, также принадлежит W. Так как W замкнуто относительно векторного сложения и умножения на скаляр, то оно является векторным подпространством. □

Теорема 2.5.7. Если размерность векторного подпространства W конечномерного векторного пространства V равна размерности V, то W = V.

Доказательство. Обозначим размерность обоих пространств через k. Выберем в W базис. Он образует множество k линейно независимых векторов пространства V, поэтому является базисом в V. Следовательно, каждый вектор из W принадлежит также V. □

Для заданного поля F величина (Gj, а, а), составленная из элементов поля, называется п-последовательностью элементов поля. Относительно операций покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на скаляры множество п-последо-вательностей элементов поля F образует векторное пространство, которое обозначается через С помощью выбора базиса Vj, Vh люэог конечно-мерное векторное пространство можно превратить в пространство п-последовательностей, представляя каждый вектор V = GiVj + ... + й„у„ fi-последовательностью его коэффициентов an). Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением только векторных пространств п-последовательностей.

Скалярное произведение двух п-последовательностей из U = (Й1, ..., й„) и V = (fci.....

равно скаляру, определяемому так:

U • V = .... й„) • (fci.....fen) = -I-----1- афп-

Можно сразу же проверить, что u-v = v-u, (cu)-v = с (u-v) и w-(u -Ь v) = (wu) -f (w-v). Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они называются ортогональными. Ненулевые векторы над GF (q) могут быть ортогональны сами себе. Вектор, ортогональный к каждому элементу множества, называется ортогональным к множеству.

Теорема 2.5.8. Пусть V - векторное пространство п-последовательностей над некоторым полем F, и пусть W - некоторое его подпространство. Множество векторов, ортогональных к W, также образует подпространство.

Доказательство. Обозначим через U множество всех векторов, ортогональных к W. Так как О принадлежит U, то U не пусто. Пусть W - произвольный вектор из W, а Ui и щ - два произвольных вектора из U. Тогда wUi = w-Ug = О и w-Uj + + W-U.2 = О = W-(uj + U2), так что щ-\-щ принадлежит U. Также w-(cai) = с (w-Ui) = О, и, следовательно, cui принадлежит и. Таким образом, U является подпространством. □

Множество векторов, ортогональных к W, называется ортогональным дополнением W и обозначается через W. В случае конечномерных векторных пространств над полем вещественных чисел пересечение W и W-"- содержит только нулевой вектор, но над полем GF (q) подпространство может иметь нетривиальное пересечение с W или может даже принадлежать W либо содержать W. В действительности можно даже построить примеры подпространств, которые сами являются своими ортогональными дополнениями. Например, в GF (2) подпространство {00, II] совпадает со своим ортогональным дополнением.

Теорема 2.5.9. Вектор, ортогональный к каждому вектору множества, порождающего W, принадлежит ортогональному дополнению пространства W.

Доказательство. Предположим, что множество {w, wj

порождает W. Вектор w из W можно записать в виде w=CiWj Н----

+ CnWn- Тогда

Если u ортогонален к каждому Wj, то он ортогонален к каждому W из W. □

Если размерность подпространства W в векторном пространстве п-последовательностей равна k, то размерность ортогонального дополнения W-l равна п - k. Этот факт часто используется в дальнейшем и поэтому будет доказан в виде теоремы 2.6.9. Мы сошлемся на этот факт при доказательстве следующего результата.

Теорема 2.5.10. Пусть W - подпространство в пространстве п-последовательностей, и пусть - его ортогональное дополнение. Тогда W представляет собой ортогональное дополнение подпространства W.

Доказательство. Пусть размерность W равна k. Тогда, согласно теореме 2.6.9, размерность равна п - k, а размерность ортогонального дополнения пространства равна k. Но каждый вектор из W ортогонален к W. Следовательно, W содержится в ортогональном дополнении к W- и имеет ту же самую размерность, так что эти подпространства совпадают. Q

2.6. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Широко используемые разделы прикладной математики - линейная алгебра, в частности теория матриц, - обычно изучаются только для поля вещественных чисел и поля комплексных чисел, однако большинство известных операций линейной алгебры справедливо также для произвольного поля. Мы кратко изложим этот материал отчасти в порядке обзора и отчасти для доказательства того, что известные методы остаются справедливыми над произвольным полем (а иногда даже над произвольным кольцом).

Определение 2.6.1. (п X т)-матрицей А над кольцом R называется прямоугольная таблица, состоящая из п строк и т столбцов и содержащая пт элементов из кольца R:

On flfia ...

(21 <22 • 0.2т

В большинстве приложений кольцо R в действительности является полем, и мы ограничимся этим случаем. Как правило, мы будем рассматривать матрицы над конечным полем GF (q).

Множество элементов а, для которых номер строки совпадает с номером столбца, называется главной диагональю. Если п равно т, то матрица называется квадратной матрицей, (п X X п)-матрица, все элементы главной диагонали которой равны единичному элементу поля, а остальные элементы равны нулевому элементу поля, называется единичной (п X п)-матрицей. Единичная матрица обозначается через I. Примерами единичных матриц являются

Ю- гюо

о 1 о о о 1

Две (п X /п)-матрицы А и В над полем GF (q) можно складывать по правилу

А + В =

йц -j-- Ьц f ... Й1„ +

anl + bni Оп2 + пз • • ащп [- lnm