12.4. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ СВЕРТОЧНЫХ КОДОВ 415

ного сегмента кодовой последовательности сверточного кода. Таким образом, dt = d, если I = п, я di < doo, если / < Поо.

В примере, приведенном на рис. 12.5, свободное расстояние равно 5, а свободная длина 6. В этом случае свободная длина равна длине блока сверточного кода. В общем случае она может быть больше длины блока.

12.4. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ СВЕРТОЧНЫХ КОДОВ

Сверточный код состоит из бесконечного числа кодовых слов бесконечной длины. Он линеен и может быть описан бесконечной порождающей матрицей. Для описания каждого кода может быть использовано огромное количество порождающих матриц, но удобно оперировать только некоторыми из них. Даже в лучшем случае порождающая матрица сверточного кода более громоздка, чем порождающая матрица блокового кода.

Порождающие многочлены, имеющие индексы i и /, могут быть записаны в виде

ёа W Ijgijix-I

Для построения порождающей матрицы коэффициенты gij, упорядочиваются в виде матрицы. Пусть при каждом / G, является (/sq X По)-матрицей:

Тогда порождающая матрица сверточного кода, усеченного до блокового кода длины п, записывается в виде

Со Сг Са ... G,„

G(") =

О Go Gl ... G„.i

О О Go ... Qm-2

О О О Go

где символом О обозначена (k X По)-матрица, целиком состоящая из нулей. Порождающей матрицей сверточного кода является матрица

Go Gl Сг ... С„ О ООО ...

О Go Cl ... G„ i G„, ООО -О О Go ... G„ 2 G„ i G„ 0 0 ...

G"> =

I Ро

о О О о

0 Р, ; о Рг ; • -

1 Poi О р, 0 0 i I Ро:

I <

0 0 ! о о

о р.

о Р„-,

0 Р„-2

1 Ро

I Ро; О Р, ; О Р2

0 0 : I Ро: о р, 0 0 : о о I Ро

где каждая строка получается сдвигом предыдущей строки вправо, а необозначенные матричные элементы справа и слева от нее равны нулю. Через I обозначена единичная] (ko X Ло)-матрица, через О - матрица того же размера, состоящая из одних нулей, а через Р, Р,,, - матрицы размера ko X (rq - k. Первая строка описывает кодирование первого информационного кадра в первые т кадров кодового слова. Структура этого матричного выражения соответствует работе регистра сдвига кодера.

Первый информационный кадр кодируется в первый кадр кодового слова элементом, находящимся в левом верхнем углу матрицы G, а именно элементом

С(«»>-[1 Ро].

Аналогично два первых информационных кадра кодируются в два первых кадра кодового слова по правилу

0 Pl

1 Ро

Проверочной матрицей является любая матрица Н, удовлетворяющая условиям

G(/"o)(H("o)f = 0, / = 0, 1, 2, . . .,

бесконечно продолжающаяся вниз и вправо. За исключением диагональной полосы, состоящей из т ненулевых подматриц, все ее подматрицы являются нулевыми.

В случае систематического сверточного кода эти две матрицы могут также быть записаны в виде

12.4. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ СВЕРТОЧНЫХ КОДОВ 417

где 0*"° и Н<"») - стоящие в левых верхних углах матриц G и Н подматрицы, соответствующие / кадрам. Бесконечномерная проверочная матрица Н может быть построена по G. В качестве проверочной выберем матрицу

о Р1 о Р]

о р; 1

о р; 2

о Рт-1

0...PJ о... о...

где, как и ранее, все необозначенные элементы являются нулевыми.

Пример. Систематический двоичный сверточный (4,2)-код со = = 1 и /п = 1 описывается матрицами Ро = 1 и Pi = 1 размера 1x1. Следовательно,

Г1 1 О 1

110 1 С= 110 1

г1 1 10 11 1 о

Пример. Систематический двоичный сверточный (12,4)-код го = 1 и т = 3 задается матрицами Р = [1 1J, Pi = [0 1],

с feo - - . .

Рг==[1 0] и Рз = [1 1 ]. Следовательно,

1 11001010011

111001010011

111001010011

1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1