4) закон ассоциативности: для произвольного вектора v и произвольных скаляров Cj и с выполняется равенство

(CjCg) V = Ci (CgV).

Нулевой элемент из V называется началом координат пространства V и обозначается через 0.

Отметим, что мы использовали символ + двумя различными способами: для векторного сложения и для сложения в поле. Отметим также, что мы использовали символ О для обозначения нулевого элемента поля и символ О для обозначения начала координат векторного пространства.

В качестве менее известного примера векторного пространства V можно указать множество многочленов от л; с коэффициентами из GF (q). Векторами этого пространства служат многочлены. Векторное сложение совпадает со сложением многочленов, а умножение на скаляр - с умножением многочленов на элементы поля.

В векторном пространстве V сумма вида

U = GjVi 4- -I-----Ь GftVft,

где Oi - скаляры, называется линейной комбинацией векторов

Vj, Vft. Множество векторов Vj, называется линейно

зависимым, если существует множество не всех равных нулю

скаляров .....Gft}, такое, что

ал + CaVa -1-----Ь Q/iVft = 0.

Множество векторов, которое не является линейно зависимым, называется линейно независимым. Никакой вектор из множества линейно независимых векторов не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов этого множества. Отметим, что нулевой вектор О не может принадлежать линейно независимому множеству; каждое множество, содержащее О, является линейно зависимым.

О множестве векторов говорят, что оно порождает векторное пространство, если каждый вектор пространства равен хотя бы одной линейной комбинации векторов из этого множества. Векторное пространство, порождаемое конечным множеством векторов, называется конечномерным векторным пространством. Мы в первую очередь интересуемся конечномерными векторными пространствами.

Теорема 2.5.2. Если векторное пространство V порождено конечным множеством из k векторов А = jv, содержит т линейно независимых векторов В = [п, и,„, то km.

Доказательство. Мы опишем правило построения последовательности множеств Ло, Ль А, А, таких, что каждое из множеств порождает V, каждое из множеств содержит k элементов, выбираемых из Л и fi, и множество содержит Uj, u. Таким образом, среди k элементов множества А будут содержаться Ui, u, и, следовательно, k т.

Так как никакая линейная комбинация векторов из 5 с ненулевыми коэффициентами не равна нулю, то никакой элемент из В не может быть представлен в виде линейной комбинации других элементов из В. Если множество Aj. i не содержит и порождает V, то должен быть способ представления в виде линейной комбинации элементов из Aj. i, включающий хотя бы один вектор из Л (с*:ажем, Vj), не принадлежащий множеству В. Уравнение, задающее эту линейную комбинацию, можно разрешить относительно Vj, представив V; в виде линейной комбинации из Up и других элементов из Л,. 1.

Это построение осуществляется следующим образом. Пусть Aq = А. Если Л,. 1 содержит и, то полагаем Aj. = Aj. i, в противном случае и,, не принадлежит множеству Лг 1, но может быть представлен в виде линейной комбинации элементов из Aj. i, содержащей некоторый элемент из А, не принадлежащий В. Множество Лр образуем из множества Aj. i заменой Vj на и.

Произвольный вектор v равен некоторой линейной комбинации элементов из A,. i и, следовательно, также элементов из Л, если исключить вектор Vj, используя линейную комбинацию, связывающую Vj и и,, с другими векторами из Л,. 1. Следовательно, множество Аг порождает V, и из Л.х мы построили Л с желаемыми свойствами. Таким образом, множество Л может быть построено, и доказательство закончено. □

Теорема 2.5.3. Два множества линейно независимых векторов, порождаюиие одно и то же векторное пространство, содержат одинаковое количество векторов.

Доказательство. Если одно множество содержит т векторов а другое k векторов, то по теореме 2.5.2 т k и k т, и, следовательно, т = k. □

Число линейно независимых векторов в множестве, порождающем конечномерное векторное пространство V, называется размерностью пространства V. Множество k линейно независимых векторов, порождающее А-мерное векторное пространство, называется базисом этого пространства. Согласно теореме 2.5.2, в А-мерном векторном пространстве каждое множество, содержащее более k векторов, является линейно зависимым.

Теорема 2.5.4. В k-мерном векторном пространстве V любые k линейно независимых векторов образуют базис пространства V.

Доказательство. Пусть {v, v} - произвольное множество k линейно независимых векторов из V. Если оно не порождает V, то в V найдется такой вектор v, что он не равен никакой линейной комбинации векторов Vi, V;. Множество v, v, vi содержит k + 1 линейно независимых векторов из V, что противоречит теореме 2.5.3. Следовательно, множество {vj, v} порождает V и является базисом. П

Если множество линейно независимых векторов А-мерного пространства не является базисом, то оно должно содержать меньше k векторов. Дополнение такого множества векторами так, чтобы оно превратилось в базис, называется пополнением базиса.

Теорема 2.5.5. Заданное множество линейно независимых векторов в конечномерном векторном пространстве всегда может быть дополнено до множества, образующего базис.

Доказательство. Если данное множество не является базисом, то некоторый вектор пространства не является линейной комбинацией векторов данного множества. Выберем такой произвольный вектор и присоединим его к исходному множеству, увеличив объем множества на единицу. Если полученное множество все еще не является базисом, повторим процесс. Процесс обязательно оборвется, так как число линейно независимых векторов в множестве не может превосходить размерность пространства. Полученное по завершении процесса множество векторов удовлетворяет условиям теоремы. □

Непустое подмножество векторного пространства называется векторным подпространством, если оно также является векторным пространством относительно исходных операций векторного сложения и умножения на скаляр. Относительно операции векторного сложения векторное пространство является группой, а векторное подпространство подгруппой. Чтобы установить, что непустое подмножество векторного пространства образует подпространство, достаточно проверить только замкнутость подмножества относительно векторного сложения и умножения на скаляры. Замкнутость относительно умножения на скаляры гарантирует, что нулевой вектор принадлежит подмножеству; другие необходимые свойства наследуются из исходного пространства.

Теорема 2.5.6. Множество всех линейных комбинаций множества векторов \vi, v} произвольного векторного пространства V образует подпространство в V.

Доказательство. Каждая линейная комбинация векторов Vj, Vft является вектором из V, и поэтому множество W всех линейных комбинаций образует подмножество пространства V. Оно не пусто, так как О принадлежит W. Мы должны показать, что