40 СЛ. 2. ВведЕНИЁ!В АЛГЕБРУ

ной алгебраической структурой, называемой полем, является множество, в котором можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Определение 2.4.1. Полем называется множество с двумя определенными на нем операциями -• сложением и умножением, причем имеют место следующие аксиомы:

1) множество образует абелеву группу по сложению;

2) поле замкнуто относительно умножения, и множество ненулевых элементов образует абелеву группу по умножению;

3) закон дистрибутивности:

(а + Ь) = ас + Ьс для любых а, Ь, с из поля.

Единичный элемент относительно сложения принято обозначать через О и называть нулем, аддитивный обратный элементу а элемент - через -а; единичный элемент относительно умножения обозначать через 1 и называть единицей, мультипликативный обратный к элементу а элемент -• через сг. Под вычитанием (а - Ь) понимается а -f- (-b); под делением {alb) понимается Ь-а.

Широко известны следующие примеры полей:

1) R: множество вещественных чисел,

2) С: множество комплексных чисел,

3) Q: множество рациональных чисел.

Все эти поля содержат бесконечное множество элементов. Мы интересуемся полями, содержащими конечное число элементов. Поле с q элементами, если оно существует, называется конечным полем или полем Галуа и обозначается через GF (q).

Что представляет собой наименьшее поле? Оно обязательно содержит нулевой элемент и единичный элемент. На самом деле этого уже достаточно при следующих таблицах сложения и умножения:

Это поле GF (2), с которым мы уже встречались в § 2.1. Проверка показывает, что не существует другого поля с двумя элементами.

В гл. 4 конечные поля будут изучены более детально. Сейчас мы приведем два простых примера и опишем их таблицами сложения и умножения (вычитание и деление неявно определяются этими же таблицами).

Поле G/=(3) = {0, 1, 2} с операциями

Поле GF (4) =

Отметим, что умножение в поле GF (4) не является умножением по модулю 4 и сложение не является сложением по модулю 4.

Существуют многие другие поля Галуа. Даже для этих примеров очень маленьких полей не так легко с помощью простой проверки установить, что они обладают указанной структурой. Структура этих и больших полей будет разъясняться в гл. 4.

Прежде чем расстаться с этими примерами, заметим, что поле GF (2) содержится в GF (4), так как в поле GF (4) два элемента О и 1 складываются и умножаются точно так же, как они складываются и умножаются в поле GF (2). Однако GF (2) не содержится в GF (3).

Определение 2.4.2. Пусть F - некоторое поле. Подмножество в F называется подполем, если оно само является полем относительно наследуемых из F операций сложения и умножения. В этом случае исходное поле F называется расширением поля.

Для того чтобы доказать, что подмножество конечного поля Является подполем, необходимо доказать только, что оно содержит ненулевой элемент и что оно замкнуто относительно сложения и умножения. Все остальные необходимые свойства наследуются из F. Обратные элементу Р по сложению или умножению элементы содержатся в порожденной Р циклической группе относительно операции сложения или умножения.

Поле обладает всеми свойствами кольца, а также важным Дополнительным свойством - в нем всегда возможно сокращение.

Сокращение представляет собой слабую форму деления и означает, что если ab = ас, то b - с.

Теорема 2.4.3. Если в произвольном поле ab = ас и а О, то b = с.

Доказательство. Умножить на 0". П

Некоторые кольца могут также удовлетворять этому условию сокращения, но все-таки не быть полями. Простым примером служит кольцо целых чисел. В этом кольце сокращение возможно, но приведенное для теоремы 2.4.3 доказательство не проходит, так как в этом кольце не существует элемента а. Кольца, в которых всегда возможно сокращение, имеют специальное название.

Определение 2.4.4. Коммутативное кольцо, в котором b = с, если ab = ас и элемент а отличен от нуля, называется областью целостности.

2.5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Известный пример векторного пространства дает трехмерное евклидово пространство, фигурирующее во многих физических задачах. Его обобщением является п-мерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Понятие п-мерного пространства тесно связано с идеями линейной алгебры и теории матриц и играет важную роль во многих приложениях.

Для произвольного поля можно дать абстрактное определение векторных пространств.

Определение 2.5.1. Пусть F - некоторое поле. Назовем элементы из F скалярами. Множество V называется векторным пространством, и его элементы называются векторами, если для пар элементов из V определена такая операция векторного сложения (обозначается плюсом), а для элементов из У и элементов из F определена такая операция умножения на скаляры (обозначается приписыванием), что результат выполнения операции дает элемент из V, причем имеют место следующие аксиомы:

1) V является абелевой группой относительно векторного сложения;

2) закон дистрибутивности: для каждой пары векторов Vj, Va и скаляра с выполняется равенство

с (Vi -{- Va) = cvi + cva;

3) закон дистрибутивности: для произвольного вектора v и произвольных скаляров Ci и с выполняются равенства Iv = v

и (q Ь Са) V = CVi + CV./,