2.3. КОЛЬЦА 37

Теорема 2.2.3. В разложении группы G на смежные классы каждый элемент из G встречается один и только один раз.

Доказательство. Каждый элемент появится хотя бы один раз, так как в противном случае процесс не остановится. Докажем теперь, что каждый элемент не может появиться дважды в одной и той же строке и что один и тот же элемент не может появиться в двух разных строках.

Предположим, что два элемента одной и той же строки, gi*hj и gi*hk, равны. Тогда умножение [слева.-.Перев.] каждого из них на дает равенство hj = hf,. Это противоречит тому, что каждый элемент подгруппы выписан в первой строке только один раз.

Предположим, что два элемента различных строк gi*hj и gh*hi равны и что k<Ci. Умножение справ.а на Н] приводит к равенству g = gk*h,*hj\ Тогда gt порождает k-u смежный класс, так как элемент hi * h] принадлежит подгруппе. Это противоречит указанному выше правилу выбора лидеров смежных классов. □

Следствие 2.2.4. Если Н - подгруппа группы G, то число элементов в Н делит число элементов в G. Таким образом, (Порядок Н)- (Число смежных классов G по Я) =

= (Порядок G). □

Доказательство следует непосредственно из прямоугольности таблицы разложения на смежные классы.

Теорема 2.2.5. Порядок конечной группы делится на порядок любого из ее элементов.

Доказательство. Группа содержит циклическую подгруппу, порожденную любым из ее элементов; таким образом, утверждение теоремы вытекает из следствия 2.2.4. □

2.3. КОЛЬЦА

Следующей необходимой нам алгебраической структурой является кольцо. Кольцо представляет собой абстрактное множество, которое является абелевой группой и наделено дополнительной структурой.

Определение 2.3.1. Кольцом R называется множество с двумя определенными на нем операциями: первая называется сложением (обозначается +), вторая называется умножением (обозначается соседним расположением), причем имеют место следующие аксиомы:

1) относительно сложения (+) R является абелевой группой;

2) замкнутость: произведение аЬ принадлежит R для любых а b из R;

3) закон ассоциативности: а (be) = (ab) с;

4) закон дистрибутивности:

а (Ь + с) = аЬ + ас, (Ь {- с) а = Ьа + са.

Сложение в кольце всегда коммутативно, а умножение не обязательно должно быть коммутативным. Коммутативное кольцо - это кольцо, в котором умножение коммутативно, т. е. аЬ = Ьа для всех а я b из R.

Закон дистрибутивности в определении кольца связывает операции сложения и умножения. Этот закон имеет несколько непосредственных следствий, как, например, приведенная ниже теорема.

Теорема 2.3.2. Для произвольных элементов а и b в кольце R

(i) аО = Оа = О,

(ii) а (-Ь) = (-а) Ь = - (аЬ). Доказательство.

(i). аО = а (О + 0) = аО + аО.

Вычитая из обеих частей равенства аО, получаем О = аО.

Вторая часть утверждения (i) доказывается аналогично, (ii). О = аО = a{b- b) = ab + а (-b).

Следовательно, а (-b) = - (ab).

Вторая часть утверждения (ii) доказывается аналогично.

□

Операция сложения в кольце имеет единичный элемент, называемый нулем. Операция умножения не обязательно имеет единичный элемент, но если он есть, то является единственным. Кольцо, обладающее единственным элементом относительно умножения, называется кольцом с единицей. Этот единичный элемент называется единицей и обозначается символом 1. Тогда для всех а из R имеет место равенство

la = al = а.

Относительно операции сложения каждый элемент кольца имеет обратный. Относительно операции умножения элемент, обратный данному элементу, не обязательно существует, но в кольце с единицей обратные элементы могут существовать. Это означает, что для данного элемента а может существовать элемент Ь, такой, что ab = I. Если это так, то b называется правым обратным к а. Аналогично если существует элемент с, такой, что са - I, то с называется левым обратным к а.

Теорема 2.3.3. В кольце с единицей

(i) единица единственна;

(ii) если элемент а имеет как правый обратный Ь, так и левый обратный с, то элемент а называется обратимым,

причем обратный ему элемент является единственным (и обозначается через а~)\ (iii) (О- = а.

Доказательство. Рассуждения аналогичны проведенным при доказательстве теоремы 2.2.2. □

Обратимый элемент кольца называется единицей. Множество всех единиц в кольце замкнуто относительно умножения, так как если а и b - единицы, то с = аЬ имеет обратный элемент, равный = b"fl:~.

Теорема 2.3.4.

(i) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце.

(ii) Если с = аЬ и с - единица, то а имеет правый обратный, а b - левый обратный элемент.

Доказательство. Непосредственная проверка. □

Имеется много известных примеров колец, и ниже приводятся некоторые из них. Представляется поучительным проиллюстрировать этими примерами теоремы 2.3.3 и 2.3.4.

1. Множество всех вещественных чисел образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных сложения и умножения. Каждый ненулевой элемент кольца является единицей.

2. Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных сложения и умножения. Это кольцо принято обозначать через Z; его единицами являются только ±1.

3. Множество всех квадратных [п X /г)-матриц, элементами которых являются вещественные числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения. Единицей является единичная (п X п)-матрица. Единицами в кольце служат все невырожденные матрицы.

4. Множество всех квадратных [п X /г)-матриц, элементами которых являются целые числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения.

5. Множество всех многочленов от л; с вещественными коэффициентами образует коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения многочленов. Единицей кольца является многочлен нулевой степени р (х) = 1.

2.4. ПОЛЯ •

Нестрого говоря, абелевой группой является множество, в котором можно складывать и вычитать, а кольцом - множество, в котором можно складывать, вычитать и умножать. Более силь-