Нуиераторы весов Казами для некоторых

Корни проверочного многочлена 1-укороченного кода (с точностью до циклических сдвигов)

Замечания ... А

/<5)

Дуальные к oillUlll

1-удлинен- 001111111

иым БЧХ-ко-

дам с боль- --

шой скоро- 011111111

стью; 001111111

т нечетное. ОЮНИИ

ЛГ(ЛГ-1)(ЛГ-2)

11/2

1-удлинен- 0111111111 ный БЧХ-код 0111101111

с большой .

скоростью;

т четное. 0111111111 21/2 0111101111 0111011111

31/2

Не иэвестио

дуальные 01111111 к 1-удлинен- 00111111

иому БЧХ-

коду с боль-шой скоро- 01111111 стью; 00111111 m четное. oiOlOlll

N(N-i) (N-i)3 61

N(iV-l) (ЛГ-4)Х X(N2+6N+68)

. . .0

3N(N-i)x Х(ЛГ-4)

16X15X12

Произвопъ- l2"-l)-l

иый подкод ,,m n со скоростью

(2m+l)/N. -(241)

Доказательства Казами ие включены в эту книгу; gcd = н.о.д. (т, е)

Е!сли gcd - нечетен, то N (W-1) /(gcd)- 2gcd

ЕСЛИ gcd четен, то А iV(W-l)

ПОДКОДОВ РМ!-кода второго порядка длины " = 2"»

Таблица 16.5

*/(2)

*/<0)

1/2AJV/2

iV(iV-l)

(ЛГ-1) (W-b2) 2

N(N-i) (5N+8)

(JV-l)(9iV2-b6fV+16)

JV (VTv-l)

iV-1

ЛГ(ЛГ-1)(2 VN-i)

ЛГ(/ЛГ-1)Х (ЛГ+2 yiV-f4) 3

(/ЛГ-1) X ,(2Ла+гуЭ/2 лг+4 4

ЛГ (W-1) 4X3

2iV (N~l)

7ЛГг (W-1) 4X4X3

2N (N-i) (3N+8) 15

(W-l)(2W-4JV+68) 64

(N-1) (№-ЛГ/2ес<14.))

(N-1)

/ /gggd-i \ 12g°%(N-l)

приложение А

Таблица 16.6

Нумераторы весов смежных классов двоичного БЧХ-кода с длиной « = 2™-1, т чётное

чирпп ккржяит К1гя1ч>пв Число элементов мини- лидера Число оиежных классов сального веса в смежном смеж-

классе иого

класса

в типе

Si=Q, Aj = ненулевой куб

n-1±2 Vn+Г 6

5j = 0, Л1=некуб

2п 3

га-lq= Уп + Т 6

5,фО, Д1=0

5i=jfcO, Л1 = некуб

в(га-1=рУМ-1) 3

31фО, Д1=некуб

»(п-1±У«Ч-1)

Sj:0, Л1=ненулввой куб

в(га-1±2 Vra-1-l) 6

St=jfcO, Л1 = нвнулв-вой куб

(1г)=

п(пЧ-1т2Уд+Г)

в-1±2 УГ+1

Логартфиы и антилогарифмы по основанию а в поле GF(2), где о84-оа-1-1 = 0

Приложение В

Запись элементов поля GF (5а) через корень о многочлена

""ный*" Минимальный многочлен дон

x-i х+ 1+2 а:3 2а;-1 гЗ -2 х- 1 + 1 а;2+ х+2

1-2 i2+2s-2

i + l

i3 +2 гз-2i-1 i3+2i-2 x+1 la- 1+2 i34-2x-1 i8 2 гз-!- i+l

l2 1 + 2

x+2 г2 2г-2 12- i + l i2 +2 a;2+2z -1 a;3 2x-2

24 12

24 4 24 3 8 12 24 2 24 12 8 3

24 4

24 6 8

Рааложение квадратных многочленов над GF(5):

2 + l = (i+2)(i-2) ;,2 l = (a: + l)(a:-l) a;3±a;-l = (i 4=2)2 а:3±2а;+1 = (г±Ф a;2-t2i + 2 = (i=F 1) (1 + 2) xi±x-Z=={x + i){x±t)

ЛИТЕРАТУРА

Альберт (Albert A.), [1956] Fundamental Concepts of Higher Algebra,

The University of Chicago Press, Chicago; Math. Rev., 20, 5190. Андрианов В. И., Сасковец В. Н., [1966] Дециклические коды.

Кибернетика, № 1, 11-16. Артин (Artin е.), [1942] Calois Theory, North State Press, South Bend.

Ind.; Math. Rev., 4, 66. Ассмус, Мэттсон (Assmus E. F., Jr., Mattson H. F.), [1966]

Perfect Codes and the Mathieu Groups, Arch. Math., 17; 121-135. -, -, Турин, (Turin R.), [1965] Cyclic Codes, Air Force Cambridge Res. Lab. Sum. Rept. 4.

11966] Cyclic Codes, Air Force Cambridge Res. Lab.

Final Rept.

Бартон, Велдон (Burton H. О., Weldon E. J. Jr.), [1965] Cyclic Product Codes, lEEE) Trans. Inform. Theory, ITll, 433-439; Math. Rev., 32, 7340.

Бассгенг (Bussgang J. J.), [1965] Some Properties of Binary Convolu-• tional Code Generators, IEEE Trans. Inform. Theory, ITll, 90; Math. Rev., 32, 3953.

Берлекэмп (Berlekamp E. R.), [1963] A Class of Convolution Codes,

Inform. Control, 6, 1-13; Math. Rev., 28, 2935. -, [1964a] Block Coding with Noiseless Feedback, Ph. Diss, thesis, Depar-

tament of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology,

Cambridge, Mass.

-, [1964b] Note on Recurent Codes, IEEE Trans. Inform. Theory, ITIO,

257-258.

-, [1966a] Distribution of Cyclic Matrices in a Finite Field, Duke Math. J.,

33, 45-48; Math. Rev., 32, 2405. -, [1966b] Practical BCH Decoders (неопубликованный предварительный

вариант гл. 7 и 10, «Algebraic Coding Theory»). -, [1967a] Factoring Polynomials over Finite Fields, Bell System Tech. J.,

46, 1853-1859.

-, [1967b] The Enumeration of Information Symbols in BCH Codes, Bell

System Tech. J., 46, 1861-1880.

-, 1967c] Decoding Algorithms for Srivastavas Codes, unpublished notes.

-, 1968a] Block Coding for the Binary Symmetric Channel with Noiseless,

Delayless Feedback, Proceedings of the Symposium on Error-correcting

Codes at the University of Wisconsin (May 6-8, 1968), John Wiley & Sons,

New York.

1) Журнал «1БЕЕ Trans. Inform. Theory* до 1963 г. издавался под названием «IRE Trans. Inform. ТЬеогу». В период между 1953 и 1954 г. несколько номеров журнала вышло без указаний номеров тома; в эти» случаях в ссылке дается номер журнала без указания номера тома. В большинстве библиотек эти номера журналов объединены в один том.