4.4. Алгебраическая структура конечных полей

Обсуждение алгебраической структуры конечных полей мы начнем с изучения аддитивных свойств единицы поля. Наряду с единицей

поле содержит также элементы 1 - 1 + 1, 2 1 = 1 -- 1 + 1

и21 = 1 + 1+ ••• +1- Если эти числа, которые мы будем назы-1=1

вать числами поля, не все различны, то существуют такие целые числа

т п т-п

тип, ЧТО 2 1 = S 1 ™ 1=0.

4.401. Определение. Наименьшее натуральное число с,

для которого в данном поле 2 1=0 называется характеристикой

1=1 si

этого поля.

Если элемент 2 1 отличен от нуля для любого натурального п, 1=1

то говорят, что поле имеет характеристику оо (или, согласно старой терминологии, используемой некоторыми авторами, характеристику 0). я Множество чисел поля замкнуто относительно операции умноже- j

ния, так как )

(2 i)(S i)=(Si).

тп n /- \

Если 2 1 = 0 И (2 1) 0. TO, умножив на 1/(2 1), получим, что i=l i=l i=l I

2 1 == 0. Значит, если 2 1 =0- то либо 21=0- либо 2 1 =0-

ii i=l i=l »=1

Это приводит к следующему результату:

4.402. Теорема. Характеристика любого поля равна оо йли, простому числу р.

Если характеристика поля равна оо, то оно бесконечно. Если характеристика поля равна р, то его порядок может быть как конеч- ным, так и бесконечным. Например, классы вычетов по модулю р образуют конечное поле характеристики р. Пример бесконечного!

1) В записях, подобных данной, участвует неявно знак умножения:!

(10-СЮ-

поля характеристики р дает множество всех рациональных функций от переменной х, т. е. функций вида / {x)/g (х), где f (х) и g (х) - многочлены от X над полем к.тассов вычетов по модулю р.

В любом поле характеристики р множество чисел поля замкнуто не только относительно операций сложения и умножения, но и относительно операций вычитания и деления. Действительно, для любого целого числа к <р, согласно алгоритму Евклида, существуют такие числа i и г, что jk + = 1 при О < / <; р. Тогда в поле имеем

(S 1) (S 1) = 1, так что 2 1 = (2 1)-. Это дает

4.403. Теорема. В поле F характеристики р множество чисел поля образует подполе я порядка р, изоморфное ) полю вычетов по модулю р.

Следующие выкладки показывают, что свойства поля существенным образом определяются свойствами его простого подполя. Первым результатом в этом направлении является

4.404. Теорема. В любом поле характеристики р

хР-аР = (х-а)Р.

Первое доказательство. Пусть / (х) = х - а", и предположим, что f {х) = g (х) h (х), где g (х) я h (х) -- взаимно простые нормированные многочлены ненулевой степени, так что g (х) и h (х) оба отличны от нуля. Тогда f (х) = О = g (х) h (х) -f-+ g (х) h (х). Так как h (х) делит g (х) h (х) и (g (х), k (х)) = 1, то h (х) делит h (х). Но это невозможно, так как степень h (х) меньше степени h (х). Следовательно, никакие два делителя / (х) не являются взаимно простыми и / (х) есть степень некоторого неприводимого многочлена. Так как / (а) = О, то неприводимый многочлен (х - а) является делителем / (х) и, следовательно, / (х) = (х - а), ибо степень / (х) равна р. щ

Второе доказательство. Согласно формуле бинома Ньютона (х - а) = 2 ()(~~) где - биномиальные коэф-

фициенты

(Р\ p{p-i) ...jp-k + l) U)- 1.2-3.../с

При О <i к <С р числитель содержит множитель р, а знаменатель не делится на р, так что = О mod р. Это и доказывает теорему 4.404. щ

) То есть между этими полями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее алгебраические операции; я называется простым подполем поля F.- Прим. перев.

Первым следствием этой теоремы является тот факт, что в поле характеристики р не существует элементов, порядок которых кратен р. Действительно, если з = 1, то а:" - 1 = {х - 1) = О, так чхо а: - 1 = 0. Другим следствием этой теоремы является

4.405. Теорема. Если w, w, , Wh - элементы поля характеристики р, то

для любого натурального п.

Доказательство. Прежде всего докажем теорему индукцией по п для частного случая к = 2. Предположение индукции состоит в равенстве (ю + = wf + wf. При га = О это утверждение

тривиально. В общем случае

= (u7P" + w;P")[согласно предположению индукции] =

= (х -а)" [при x-=--wf и а= -wf] = = х - а [согласно теореме 4.404] = = (wpy + (wfr = wf + wf\

Таким образом, при к = 2 теорема справедлива для всех га. Индукцией по к покажем, что для любого га

(S „;,)""= Sr. i=l

Действительно, WiY --{wt-rhi) =

= {y + Z)»" [при y= Wi и Z = Wk+i] = 4=1

= (S =

= (S "?") + "ft+i [согласно предположению индукции] =

= S -ш

Следствием из этой теоремы является один частный случай теоремы Ферма.

4.406. Следствие. Если к - число поля характеристики р, то = к для всех натуральных га.

Доказательство.

&р" = (2 1)р" -= 2 1Р"= 2 1 = А;..

С другой стороны, многочлен а; - а; в любом поле имеет не более р корней. Следовательно,

4.407. Теорема. Элемент поля характеристики р является числом поля тогда и только тогда, когда он удовлетворяет уравнению х - X = 0.

Таким образом, если w - не число поля то Ф w. Однако, как указывает теорема 4.408, существует связь между элементами W и w.

4.408. Теорема. Если f {х) - многочлен над простым под-полем я поля F характеристики р и w - такой элемент F, что / (w) = О, то f (шР") = О для всех натуральных га.

Доказательство. Пусть / (и) = 2 ft = О- Так как

каждое - число поля, то

О = (2 Uwy = 2 {fir = S /?Vp"=Ъи (рУ-ш

i i i г

Элементы w, w, и;P . . . образуют подмножество степеней элемента W, и потому их число зависит только от порядка w. Точный результат дает теорема 4.409.

4.409. Теорема. Если и> - элемент порядка п в конечном поле характеристики р, то шр"" = w, где т мультипликативный порядок числа р по модулю п ). Все т элементов и>, w, w, . . . . . ., мР"*" различны.

Доказательство. Равенство w = ы;р выполняется тогда и только тогда, когда и;р-р = 1, что справедливо в том и только том случае, когда р - р кратно га, а это верно тогда и только тогда, когда р = р mod п. Последнее равносильно тому, что

Не элемент простого подполя я.- Прим. перев. 2) Число т называется мультипликативным порядком числа а по модулю п, если т - наименьшее положительное число, для которого от = 1 mod п.- Прим. перев.

08 Гл. 4. Структура конечных полей

= 1 mod п, а это выполняется тогда и только тогда, когда k-i

ft-i

кратно мультипликативному порядку т числа р по модулю п.

Итак, если w - корень уравнения / (х) = О, где / {х) - многочлен над простым полем я, то w, w, w , . . ., 10" - различные кори этого уравнения. Следующая теорема показывает, что над полем я чисел поля существует многочлен степени т, единственными корнями которого являются W, w, иР, . . ., иР~.

4.410. Теорема. Пусть w - элемент порядка п в конечном поле характеристики р, и пусть т - мультипликативный порядок

р по модулю п. Тогда коэффициенты многочлена / (х) = [] (х - w)

степени т являются числами поля и этот многочлен неприводим над подполем чисел поля.

Доказательство. Так как = 10 = w, то

11 {x-wy--

i=0 m-l

i=0 m

= П (x-ivP).

Иными словами, справедливо тождество If (х)] = f (х) Если

Цх)=Ъих\

Сравнивая „оэффщтнты многочленов [/(х)] и / И, нодутаем,!

h (w) = 0. Если g (w) = О, то, согласно предыдущему, g (w) - О, g (wP) - О, g (wP) =0, . . ., g (и;Р™~) = О, так что степень g (х) равна тш g {x)=f (х). Аналогично, если h (w) = 0, то h {x) = f (х). щ

Многочлен / (х) = [J (х - wf) называется минимальным много-

членом элемента w, так как любой многочлен g (х), для которого

g (w) = О, удовлетворяет также условиям g (и;»*) = О и, следовательно, делится на / (х). Степень т многочлена / (х) называется степенью элемента w. Так как элементы w, w, . . ., wp™~ должны иметь тот же самый минимальный многочлен, что и элемент w, то они называются сопряженными с w. По той же причине мнимые числа +f и -i называются сопряженными: они оба являются корнями неприводимого действительного многочлена х + 1.

Так как минимальный многочлен элемента w является неприводимым многочленом степени т над простым подполем я, то р многочленов от w степени < т над я различны. Они образуют поле. Хотя этот факт несколько раз использовался в предыдущих разделах, сама теорема настолько важна, что мы воспользуемся возможностью привести ее доказательство.

4.411. Теорема. Если w - элемент поля степени т, то все многочлены от w над простым полем я, степени которых не превышают т - I, образуют подполе порядка р.

Доказательство. Прежде всего заметим, что разные многочлены и fa от и; дают разные элементы поля, так как в противном случае w - корень их разности gy - gis. deg {g - g) < т.

Сумма или разность многочленов от w степени < т также является многочленом от w степени < т. Произведение двух многочленов от w степени <; т после редукции по модулю минимального многочлена дает некоторый многочлен от w, степень которого < т. Мультипликативный обратный любого многочлена от w степени < т может быть найден-путем применения к этому многочлену и минимальному многочлену для w алгоритма Евклида. Так как минимальный многочлен элемента w неприводим, то их и.о.д. равен 1 и равенство а (х) g (х) b (х) f (х) - I дает соотношение g (w) а (w) = i, так что а (w) - обратный элемент для g (w). Таким образом, многочлены от w над простым полем я, степень которых «< т, образуют поле порядка р". Каждый элемент этого поля может быть представлен

в виде U = 2 aiW\ где а, а, .

fflm-i - числа поля.

Теперь мы можем показать, что каждое конечное поле может быть получено таким путем.