сти, в методе симметричных составляющих используется теория комплексов, или комплексных чисел.

Комплексные числа позволяют выражать электричек скйе величины как в виде векторов, так и аналитически: в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, а таже легко переходить от одной формы изображения к другой.

Комплексное число представляет собой сумму чисел

где G и Ь являются действительными чиС51ами, /= У-1 называют мнимой единицей. Из условия /= У -1 вытекает основное свойство комплексного числа: f=-1.

Комплексное число a-\-jb можно представить в виде вектора с модулем г= Уа-Ь и углом поворота, или аргументом, ф, который характеризуется tgrp==&/a (рис. 32).

При этом число а называется абсциссой комплекснрго числа и откладывается по- оси действительных, значений, число b - ордЦнатой и откладывается по оси мнимых значений.

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, следует сложить в отдельности их действительные мнимые части; следовательно, сумма комплексов a+jb и выразится как (a+/fc)-f(flii+/fci) = (a-f-a,)-f-+/(b + bi).

При умножении комплексов используется алгебраи--ческое правило умножения многочленов. Таким образом, произведение тех же двух комплексов a+jb и Gi-f/bi .будет равно:

{а + ]Ь) (Gi + jb,) = (аа, - ЬЬ,) + j (ab + аЬ).

В тригонометрической форме комплексное число выражается через модуль г и аргумент комплекса ф:

о = гсозф и Ь = Г8Шф; . .

a + jb -г (cos ф + /sin ф). • "

Показательная форма комплексного числа определяется выражением cos ф+;81п ф=е№. Из приведенного равенства следует, что a+jb=re<. Множитель е* определяет угол поворота вектора с модулем г относительно оси действительных величин.

Если комплексы выражены в тригонометрической или показательной форме

т

й;+/6 = г(С08ф4-/Ь1Пф)=:Ге<»"

«I + Ih == г I (cos Ф1 4- / sin Ф1) = г I e№,

TO при умножении модули их перемножаются, а аргументы складываются, т. е.

г (cos ф -f- / sin ф) (cos Ф1 -Ь / sin ф) = rrt [cos (ф + Ф1) +

+ •sin(ф + фl)] . .

В частном случае умножение комплекса, представленного в виде вектора, nai величину cos ф-sin ф=е равносильно повороту вектора на угол ф в сторону положительного отсчета углов; умножение Лго же векто-)а на так называемый сопряженный комплекс cos ф- р/sin ф=6""соответствует повороту вектора наугЬл ф 8 обратном направлении; например, если дан вектор feJ*, то в показательной форме умножение его на -Записывается как -

В заключение укажем, что изображение синусоидально изменяющейся величины, например тока в комплексной форме, выглядит следующим образом; /=/m(costuf-f-;+/sintuO. Мгновенное значение тока t/msinw равняется мнимой части комплекса без множителя / или проекции вектора /, вращающегося со скоростью ю, на ось • мнимых значений также без множителя /.

Метод симметричных составляющих. Выше уже говорилось, что метод симметричных составляющих состоит в замене любой, несимметричной системы суммой трех симмеГричных систем или последовательностей: прямой, обратной и нулевой [см. (71) -(73)].

Векторы системы прямой последовательности равны по значению и сдвинуть? относительно друг друга на 120° в направлении прямого чередования фаз А, В, С. Векторы системы обратной последовательности имеют равные значения и сдвинуты на 120° в направлении обратного чередования фаз А, С, В. Векторы системы нулевой последовательности совпадают по направлению и одинаковы по значению.

Пользуясь; методом комплексных чисел, можно, приняв одну из фаз за основную остальные симметричные составляющие выразить через векторы этой фазы. Так, если принять за основную фазу Л, то векторы в уравнениях (72) и (73) определятся как

iVs, = Na е°. Nb2 = Na2 JVbo = Nao; (74)

Nci = Na, Nci = Na2 Nc = Na. (75)

KoMnjfeKc eJo" называется фазным множителем, или оператором, и для сокращения, математической записи обозначается буквой а. Оператор а позволяет, выражать векторы симметричной системы через вектор какой-либо одной фазы. Умножение вектора на оператор а означает поворот вектора на 120° в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки, умножение на - поворот на 240° в том же направлении.

Таким образом, с помощью фазного множителя а соотношения (74) и (75) можно записать следующим образом:

Nbi = аАъ Nb2 = aNA2, -Nbo = Nao; (74a) -

Nci = aNAu , Nc2 = aNA2, Ncb = Nao, (75a)

где.G = e20° = cos 120° + /sin 120° =---+j;

«2 = cos 240° + / sin 240° = - -i- / .

2 2

Подставляя соотношения (74a) и (75a) в (72) и (73), получим: .

Nb = aNAi + aNA2 + Nao; (76)

• . Nc= aNAi + aNA2 + NAo. (77)

Решая совместно (71), (76) и (77), определим значения составляющих Nai, Na2 и Nao через векторы фазных величин Na, Nb л Nc:

NAi-iNA + aNB+tiNcf, (78)

NA2=MNA+aNB-+aNcb " (79)

Nao-INa + Nb + NcI . (80)