создает потенциал

¥,(r)=9n(-V)i.

101. Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квадрупольный момент является тензором II ранга, найти поле ip на большом расстоянии от линейного квадруполя, направление оси которого определяется полярными углами 7, /3. Каким еще способом можно решить задачу?

102. Пространственный октуполь (рис. 86) повернут вокруг оси z на угол /3. Найти поле (р на больших от него расстояниях путем преобразования юзмпонент октупольного момента. Сравнить с другими методами решения.

103. Найти потенциал (р электрического поля на больших расстояниях от плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей через ось Z (рис. 9). Компоненты квадрупольного момента получить непосредственно, а также путем поворота плоского квадруполя, рассмотренного в задаче 946).

104. Шар радиуса R равномерно поляризован, дипольный момент единицы обьема Р. Найти электрическое поле (р.

105. Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р{г), не зависящей от координаты z. Если р{г) / О в ограниченной области S плоскости ху, то можно разложить потенциал ip вне распределения зарядов по мультиполям (двумерные мультиполи). Найти это разложение.

Указание. Использовать результат задачи 73 и принцип суперпозиции, а также

разложение 1п(1 + - 2ucoeifi) = -2

cos kifi

1 к

U*, \и\ < 1 (см. [90], 1.514).

106. Разложить по двумерным мультиполям потенциал ip электрического поля линейного заряда х. Заряженная линия параллельна оси z и проходит через точку (го, ао) плоскости ху.

107. Найти потенциал ip электрического поля на большом расстоянии от двух близких параллельных линейных зарядов х и -х, расположенных на расстоянии а друг от друга (двумерный диполь).

108. На диске радиуса R имеется двойной электрический слой мощностью г = const. Найти потешщал у? и напряженность Е электрического поля на оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска.

109. Найти напряженность Е электрического поля двойного электрического слоя мощностью г = const, занимающего полуплоскость у = О, ж > 0. Сравнить с магнитным полем бесконечного прямолинейного тока, текущего вдоль оси z. Решить задачу двумя способами: а) прямым суммированием напряженностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя; б) определив сначала электростатический потешщал у?.

110. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных зарядов: заряда -\-q, находящегося в точке z = a,w. заряда ±q, находящегося в точке Z = -а; начертить силовые линии. Имеются ли в поле точки равновесия?

Указание. Вследствие симметрии силовые линии располагаются в плоскостях а = const, а Ez и Er не зависят от а (цилиндрические координаты). Переменные в дифференциальном уравнении силовых линий (11.14) разделяются после замены:

Z + а Z - а

111. Используя результаты предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий точечного диполя в начале координат.

112. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя (см. задачу 94а) и нарисовать примерную картину силовых линий.

113. Доказать, что поток напряженности электрического поля точечного заряда q через поверхность S равен qQ. Здесь Q - телесный угол, под которым виден контур поверхности S из точки, где находится заряд q (Q > О, если из этой точки видна отрицательная сторона поверхности).

114. Заряд qi находится на оси симметрии круглого диска радиуса а на расстоянии а от плоскости диска. Какой величины 92 заряд нужно поместить в симметричную относительно диска точку, чтобы поток электрического поля через диск в сторону заряда qi был равен Ф?

115*. Найти уравнение силовых линий системы п коллинеарных зарядов qi, 92, • • •, 9п расположенных в точках zi,Z2, ,Zn оси z, не интегрируя дифференциальных уравнений силовых линий. Применить теорему, доказанную в задаче 113 к силовой трубке, образованной вращением силовой линии вокруг оси симметрии.

116. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий системы двух точечных зарядов (ср, с задачей 110) и линейного квадруполя (ср. с задачей 112).

117. Равномерно заряженные нити, несущие заряды xi и -Н2 на единицу длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояние h. Найти, при каком соотношении между xiwxqv числе поверхностей равного потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса. Определить радиусы и положение осей цилиндров.

118. Точечные заряды qi и -q2 находятся на расстоянии h друг от друга. Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центра и радиус. Найти значение потенциала ip на поверхности этой сферы, если (р{оо) = 0.

119. 1Саким распределением зарядов создается потенциал, имеющий в сферических координатах вид: у?(г) = qe/r, где a,q - постоянные.

120. 1Саким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный им

потенциал имел в сферических координатах вид у?(г) = e~"" -Ь 1, где ео, а - постоянные.

121. Найти энергию взаимодействия U электронного облака с ядром в атоме водорода. Заряд электрона распределен в атоме с обьемной плотностью р(г) = £g~"/" элементарный заряд (ср. с задачей 83),

а - постоянная (боровский радиус атома).

122. В некотором приближении можно считать, что электронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характеризуются обьемной плотностью р = ,§£g-*"/" где а - боровский радиус

атома, ео - элементарный заряд. Найти энергию взаимодействия U электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение теории возмущений).

123. Центры двух шаров с зарядами qi и q2 находятся на расстоянии а друг от друга (а > Ri + R2, где Д2 - радиусы шаров). Заряды распределены сферически симметричным образом. Найти энергию взаимодействия и шаров и действующую между ними силу F.

124. Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стягивается под действием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения а). Считая, что диэлектрическая прочность воздуха (напряженность поля, при которой происходит пробой) равна Ео, выяснить, можно ли сильно заряжая пузырь предотвратить его сжатие. 1Саков минимальный равновесный радиус R пузыря?