При выполнении суммирования мы воспользовались известным разложением в ряд In 2 (см. справочник [90], 0.232). Отсюда емкость

С= : =2а1п2.

Для определения потенциала с помопц>ю формул (III.32), (Ш.ЗЗ) запишем г и г в цилиндрических координатах (ось z совпадает с осью симметрии

а=р\ ж(а=0,7г)

Рис. 67

системы, начало координат в точке касания сфер). Тогда z =

, R П 2 „2 I -2 „ r-j - r -ri+Z и

для потенциала получим

= C--CiJ --о()*.

Член добавлен для того, чтобы у?(г) обращался в нуль при г->оо. О

- 12 - если 1 и 2 одного знака, 16 + 6> если 6 и 6 разных знаков.

Выбрав центр инверсии О на линии пересечения сфер, положив радиус инверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с двугранным углом и ребром (ось z), перпендикулярным плоскости симметрии (а = = О, тг) рассматриваемого проводника. На рис. 67 изображен случай > О, 6 < 0. При инверсии в точке О появится заряд = -2aV. Как легко может быть показано, угол 7 = 6, если отсчитывать 7 от той грани клина, в которую переходит сферическая поверхность = 6. При преобразовании инверсии поверхности £, = const переходят в полуплоскости а = const, причем

Г 7 - а при О < а < тг + 7,

17 - а + 2тг при тг + 7 < а < (если > тг + 7).

Расстояния гиг могут быть выражены через координаты р, точки наблюдения М (при этом нужно использовать соотношения между декартовыми и тороидальными координатами из задачи 68, а также рассмотреть подобные треугольники 00М и 00М):

г= , 2° -, г = 2ае-. (2)

V2(ch/9-cosO

Используя выражение для потенциала клина, полученное в задаче 206, а также формулы (1) и (2), получим после некоторых преобразований следующее выражение для емкости:

Т/ 1-»оо Т/

нли (р-0,€-.0)

г. ""С г. ""С

/б , тгС 2тг7 /б , тгС 1 chC-1"

111. Угол уб, под которым пересекаются сферические поверхности (будем отсчитывать его вне проводника) выражается формулами:

218. а)С= (sin--);

6)С = 2Д(1--)«11Д,

интеграл из решения задачи 217 берется подстановкой е = х.