уравнениями а = aishi, а = агзЬг. Ь = Z2 - zi = a(cth2 - cthi), откуда

СП?! = -7,-Г-1 Ch$2 =

2ai6

2а2б

Функция ф в пространстве между обкладками конденсатора удовлетворяет уравнению

Производя в уравнении (2) разделение переменных и учитывая, что в нашем случае ф не зависит от азимутального угла а, найдем частные решения этого уравнения, ограниченные при 77 = О, тг:

V) = [Ai ch(l + + Bl sh(l + i)] P/(C0S7J),

где г = 0,1,2,3, ...

Рис. 65

Будем искать ф в виде ряда {,r]) = 3 liv)- Коэффициенты Ai

и Bl определяются из граничных условий V(2, v) = 0>

1 / 1 \ ,»?) = V(2 ch1 - 2 cos77)~ 2 = у е~ " 2 J«(cos 77).

«=«1

Знак «+» в последней формуле обьясняется тем, что вдоль внепгаей нормали к внутренней обкладке координата убывает. Подставляя сюда (4) и используя ортогональность полиномов Лежандра, получим:

С = -Ь ai sh6 £ е-(2+)« cth(/ + ) (6 - 6)-

212. С=- +

«2-ai {a2-aif{al-a\) 213.

СП = f -Ь ai sh6 £е cth(/ -Ь \)(6 -Ь 6),

C22 = f -Ь «2 Sh6 E e-(-5)« cth(/ + \) (6 -b 6),

Ci2 = -aishi2-

w sh(i + l)({, + {2)

Поверхности первого и второго проводников описываются уравнениями = -1 и = 2 соответственно, причем а\ shi = sh2-

Окончательно получим:

,ri) = Vy/2cH-2cosr,Yl-7-7---Piicosr,). (4)

1=0 sh(z + i)(6-6)

Емкость конденсатора

тг 27Г

drjda.

Сц = ai(l + тп + тп + rr?v?),

ci2 = -ain(l + mn),

C22 = «2(1 + rnn + mn + m?n),

215. Пусть потенциал сфер равен нулю, потенциал на бесконечности равен -V. Произведем инверсию системы в сфере радиуса R = 2а, центр которой находится в точке касания проводящих сфер (рис. 66а, сфера инверсии изображена пунктиром). После инверсии система примет вид плоского конденсатора (рис. 666, сфера инверсии изображена пунктиром)

•Г---......•------Ci-Л-у.

-2Д-

------Sl

-9J +9

Рис. 66

с расстоянием 2R между заземленными обкладками. Внутренности сфер соответствует при этом внешняя область конденсатора. В центр инверсии в конденсаторе попадает бесконечно удаленная точка первоначальной системы с потенциалом V. Этому соответствует точечный заряд = -RV в центре инверсии. Поле в инвертированной системе может быть, согласно задаче 210 (е = 1), получено как поле следующей бесконечной системы изображений: точечные заряды (-1)"9о находятся в точках = 2Rn оси z!, проходящей через центр инверсии перпендикулярно к обкладкам конденсатора. Поскольку мы интересуемся емкостью, нужно найти полный заряд первоначальной системы:

9 = 25:g„ = = 9 5: ii-=-д1п2 = ДУ1П2.