6[£2 + £l + n(e2 - ei)] [£2 + (£i - £2)n] dU аЬс{е2 - eifEiZn - 1)sin2i?

6[£2 + £i + n(£2 - £i)] [£2 + (£i - £2)n]

где - угол между осью симметрии и полем Eq, п - коэффициент деполяризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например, решение предыдушей задачи).

Из последней формулы видно, что внешнее поле стремится повернуть ось симметрии вытянутого (п < 1/3) и сплюснутого (п > 1/3) эллипсоида в положение, параллельное и перпендикулярное полю соответственно.

В случае проводящего эллипсоида, £i -> оо и

a6c(3n-l)Egsin2t? ~ 6n(l - п)

202. Потенциальную энергию жидкой заряженной капли, имеющей форму эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = 1 - и обьемом, равным обьему сферы с радиусом R (заряд q), можно выразить формулой

9 , о

.1\±1+2жКа(/ГТ + -\ (1)

(воспользоваться выражением для емкости С вытянутого эллипсоида вращения, приведенным в ответе к задаче (194).

Чтобы ответить на вопрос об устойчивости заряженной сферической капли, надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е.

На больших расстояниях от эллипсоида:

„ р • г

(р2 = -Еот+,

где Рх = (3(-)Ех, (3= = -г-Т-Г

4ei-e2 /

и т. д.

201. Воспользовавшись формулой (III. 16), получим:

abc{e2-ei)El{2[e2+{ei-e2)n] sin + [ei+e2+{e2-ei)n] cos у?}

Разложим и в ряд с точностью до е*:

Из последней формулы видно, что если заряд капли q<q = ч/Юттйа, то при малых деформациях капля стремится вернуться в сферическое состояние - капля устойчива. При q > qp, поскольку возникшая деформация продолжает увеличиваться - капля неустойчива. Процесс кончается расщеплением неустойчивой капли на две или большее количество более мелких устойчивых капель. То, что в конце концов получаются устойчивые капли, видно из выражения qk. С уменьшением размеров капли критический заряд qk уменьшается пропорционально корню квадратному из ее обьема, в то время как заряд капли q уменьшается в среднем пропорционально обьему; поэтому при достаточно малых размерах капли условия устойчивости начинают выполняться.

Ш. = -S£(„etg - ) = -fV=-vi4 -tg - I),

где нужно брать со знаком плюс при z > О и со знаком минус при z <0. На больших расстояниях за отверстием w и поле приобретает вид

Eoaz -

ip и-5- при z>0.

Такой характер имеет поле электрического диполя, ось которого сов-

падает с осью z, а момент р = -. Отсюда видно, что силовые линии,

проходящие через отверстие, замыкаются на обратной стороне металлического экрана.

204.

где Г1 = у/ + - расстояние от центра отверстия до точки наблюдения на плоскости.

Легко непосредственно проверить, что, например, при расщеплении заряженной капли на

две равные сферические капли энергия уменьшается в 2 з раза.

Рк = <

У2Ап1пж(кг)sin при г < а,

п=1 0

,В„Кпж(кг)sin при г > а. п=1 0

При написании (5) мы учли, что потенциал ipk должен удовлетворять (4) и быть ограниченным при г = О (см. приложение 3).

Для определения постоянных Л„ и S„ воспользуемся, во-первых, непрерывностью потенциала при г = Го. Это даст

/шг (fcro) An Кпж {кго)

205. Нужно решить уравнение Aip = -4жд6{т - го); -фунющя должна быть при этом записана в цилиндрических координатах:

5(г-го) = 5(г-гоЖа-7)Ф).

Компонента Фурье

-I-00

yjfe(r,a) = j ip{r, а, z) cos kzdk (1)

потенциала у?(г, а, z) удовлетворяет уравнению

и граничным условиям (см. рис. 11):

<Рк{г,0) = Мг,й = 0, (3)

(Pfe(oo,a) = 0. (4)

Рассмотрим соответствующее (2) однородное уравнение. Частными его решениями, удовлетворяющими (3), являются произведения ii„(r)sin

(п = 1,2,3,...), где величина Rn{r) равна с точностью до постоянного множителя либо 1пж{кг), либо К „ж (кг). Будем искать решение неодно-

родного уравнения (2) в виде суперпозиции таких частных решений:

/ оо