Знак минус соответствует а; > О, знак плюс а; < 0. Как функция у?о. так и потенциал у? поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяют уравнению Лапласа, Подставляя у? = щР{£) уравнение Лапласа, получим уравнение для определения неизвестной функции F{£):

$ + f°№K+«)l = o.

Это уравнение легко интегрируется. Решение, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид

у 9=0 = \

7 d< о (е + а)Д«

Если эллипсоид имеет собственный заряд q, то решение, удовлетворяющее условиям yLo = const тл -§dS = Awq (S - замкнутая поверх-« g on

ность, содержащая внутри себя эллипсоид), можно получить по принципу суперпозиции (см. задачу 193):

<Р „ = <рд=0 +

196. Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче. Входящие в выражение потенциала интегралы могут быть выражены через элементарные функции - это имеет место во всех случаях, когда эллипсоид обладает симметрией вращения. В итоге получим:

ip = -EqX

у/\ + i/a + е

lni±-2e 1 - e

где а - большая и 6 - малая полуось, е = у1- - эксцентриситет эллипсоида, ось х направлена перпендикулярно плоскости.

(см. задачу 66). Напряженность поля достигает максимального значения в вершине эллипсоида:

™ах 1 д<р 2еЗ(1-е2)-1 i

Ео Eoh «,о,с=-Ь2 1+е

где п") - коэффициенты деполяризации (см. задачу 198). В случае сфе-

ры е = О и = 3. В случае очень вытянутого стержня (громоотвод):

поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца такого громоотвода, чем на других его участках.

197. Поле на произвольных расстояниях от эллипсоида получается как суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 195 (поле Ео разлагаем на составляюшие, параллельные главным осям эллипсоида).

На больших расстояниях от эллипсоида:

¥ = ¥0 + 7 Рх = "Ех, Ру = (ЗУЕу, Pz = (3Ez. Главные значения тензора поляризуемости эллипсоида: аЬс a(v) abc a(z) abc

(x) abc (y) abc (z)

3n(-) 3n() 3nW 198. n() = i-(lni±-2e)<i,

где e = wl - - эксцентриситет эллипсоида.

3 15

199. n() = Ц(е - arctge) > i

„(.) = „Ы = к, e = (1)-1.

В частном случае диска:

n() = 1, п") = п(«) = 0.

Внутри эллипсоида:

Ух = Vlx =

(l + £l l£i„(.))

Вне эллипсоида:

Px = 4>2х = -EqX

2[£2 + (£1-£2)"("]

и определяются аналогичными выражениями, в которых х нужно заменить соответственно на у и 2;, а на 6 и с. Внутри эллипсоида однородное поле:

£2 £2 £2

В случае е -> 1 (стержень):

В случае е < 1 (форма, близкая к шару):

п(-) = 1 - Дв2, «(1/) = = 1 + Je2.