Величина U отличается от истинной энергии взаимодействия области неоднородности с внешним полем U, определяемой работой, которую надо совершить, чтобы при наличии неоднородности создать поле ip (ср. с (III. 16)). При нахождении такой энергии нужно учитывать, что моменты Qim зависят от внешнего поля. В частности, если область неоднородности представляет собой незаряженный проводник или диэлектрик, то истинная энергия взаимодействия неоднородности с внешним полем определяется формулой

U=\Y.a,mQ*irn- (2)

Коэффициент можно получить так же, как это сделано в решении задачи 161, учитывая, что в этом случае Qim пропорциональны aim- При нахождении обобщенных сил с помощью выражения (2) путем дифференцирования по обобщенным координатам как Qim, так и aim следует считать переменными величинами.

167. С/о = w - рЕо, при этом

¥?1 = <ро-г-Ео, (2 = - + , F = дЕо + (р • V)Eo, N = р х Ео

(вращательный момент вычисляется относительно начала координат).

169. Тело стремится занять такое положение, при котором его потенциальная энергия С/ = -ip • Е - минимальна. Удобно направить координатные оси вдоль главных осей тензора 0ik, тогда U = -1(/3()£2 -Ь

+ 13уЕ1 + PEf). Отсюда ввдно, что если (Зу > о, то

минимум и имеет место, когда Е х; если же /3) < /З) < /З*) < о, то минимум получается при Е г:.

170. Ось стержня и плоскость диска стремятся установиться при £1 > £2 параллельно направлению поля, а при £i < £2 - перпендикулярно.

ходит притяжение, при £2 > £i - отталкивание. В случае проводящего шара £1 -» оо. Суммируя геометрическую прогрессию, найдем энергию

§ 1. Основные понятия и методы электростатики 281

взаимодействия и =-----, откуда

F = -. "

2£2(а2 - Д2)2

(ср. с задачей 161).

Сделаем некоторые замечания к вычислению силы с помощью формулы (III. 16). Рассмотрим величину U = / (2 - £i)E • Ei dV. Обьем V

отг у,

ограничен сферой S, бесконечно близкой к поверхности дюлектрического шара и находящейся целиком внутри него. Интеграл, входящий в выражение и, лишь на бесконечно малую величину отличается от потенциальной энергии и взаимодействия точечного заряда с шаром. Введем вместо напряженностей суммарного поля Е и поля точечного заряда Ei в однородном диэлектрике £2 соответствующие потенциалы и вынесем постоянную величину (£2 - £i) за знак интеграла. Тогда U = / Vy? • VyJi dV.

отг у,

Применив формулу Грина / Vy? • VyJi dV = § dS + J (fiAcpi dV, и вое-

пользовавшись тем, что внутри шара Acpi = О, найдем для U следующее выражение:

£2-£12 I

2 0 lei+ {1 + 1)62 а2+з-

Оно совпадает с выражением, получающимся из формулы (2) задачи 166. Отсюда для F получим приведенное выше значение.

172. Свз =

X 1

v51 - У?2 2

axcch

- Ri - Дг

2Д1Д2

173- - = = ±,[(,2 у2 ,2)2 + 422]. где 6 = ,2-

Начало координат находится в центре отрезка, соединяющего оси цилиндров и выбранного за ось х.

174. C=i

axcch

Д? + Д - 0=*

2Д1Д2

p{x,y,z) = -7 =

г ViRiWiW Le") £У е-К

У (I)

При произвольной ориентации координатной системы формула (1) запишется в виде

где eife - определитель тензора е»й.

где Z - координата, нормальная к пластинам конденсатора. 178. Если выбрать оси х, гъ плоскости Ео, п, z п, то

Ez l-£zxtgt?o

где tgt?o = При этом силовая линия в дюлектрике остается в плоско-ста Ео, п.

§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты

180. Обозначим через 91 заряд первого проводника и через q заряд на внешней поверхноста второго проводника (заряд на внутренней поверхно-ста второго проводника равен -91, как это следует из электростатической теоремы Гаусса). Система (III.28) принимает вид:

91 = С11У1-I-C12V2, 1 -91 +q = C12V1 + C22V2. J

Сложив эта уравнения, получим

q = (сц + Cl2)Vl + (Cl2 + C22)V2. (2)

175. Если оси X, у, z параллельны главным осям тензора £ik, то