80. Найти энергию электростатического поля W для распределений заряда, указанных в задачах 76, 77, 79. Провести вычисления двумя способами (см. (11.15)).

81. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р{г). Разбив распределение заряда на сферические слои, выразить через р{г) потенциал ip и напряженность Е поля (записать у? и Е в виде однократного интеграла по г).

82. Используя результаты задачи 81, решить задачи 76 и 79.

83. Заряд электрона распределен в атоме водорода, находящемся в нор-

мальном состоянии, с плотностью р(г) = --е " , а = 0,529 • 10~* см -

боровский радиус атома, ео = 4,80 • 10"" CGSE - элементарный заряд. Найти потенциал (ре и напряженность Еег электрического поля электронного заряда, а также полные потенциал ip и напряженность поля Е в атоме, считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить приблизительный ход величин ipn Е.

Указание. Полезно юспользоваться методом решения задачи 81.

84. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля Етах-

Радиус ядра Д = 1,5 • 10~А см, заряд Zeo (А - атомный вес, Z порядковый номер, ео - элементарный заряд).

85. Используя результат задачи 81, решить задачу 77.

86. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа, которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно Ai и А2. Найти заряды на кольцах qi и 92-

87. Найти потенциал ip и напряженность Е электрического поля на оси равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q. Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Е испытывает скачок 4iva. Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.

88. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно и противоположно заряженных полуколец с зарядами q и -q. Найти потенциал (f и напряженность Е электрического поля на оси кольца и вблизи нее. Каков характер поля на больших расстояниях от 1«)льца?

К{к)= j

/l-fcsinV

Указание. При выполнении интегрирования по азимуту сделать замену а = = тг - 2/?.

90. Получить из общей формулы, описывающей потенциал тонкого круглого кольца (см. задачу 89), потенциал tp электрического поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от кольца; в) вблизи нити кольца.

Указание. Для случая в) воспользоваться формулами 8.113 в справочнике [90].

91. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону а = «то cos в. Найти потенциал ip электрического поля, используя разложение по мульти-полям в сферических координатах.

92. Источншо! электрического поля расположены аксиально симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источнш(и поля отсутствуют. Выразить потенциал ip и напряженность Е электрического поля вблизи оси симметрии через значения потенциала <р и его производных на этой оси.

93. Найти потенциал (р электрического поля равномерно заряженного круглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в сферических координатах. Заряд кольца q, радиуса R.

94. Найти потенциал у? электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды q, -2q, q расположены по оси z на расстоянии а друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды ±q расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а стороны квадрата параллельны осям хиу (плоский квадруполь).

95. Найти потенциал ip электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. 8а), б) пространственный октуполь (рис. 86).

96. Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами (го, 1?о> «о). Разложить по мультимополям потенциал ip этого заряда.

89. Выразить потенциал ip равномерно заряженного круглого тонкого кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл первого рода

97. Эллипсоид с полуосями а, Ь, с равномерно заряжен по объему; полный заряд эллипсоида q. Найти потенциал ip на больших расстояниях от эллипсоида с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частные случаи эллипсоида вращения с полуосями а = 6 и с и шара (а = 6 = с).

Указание. При интегрировании по объему эллипсоида воспользоваться обобщенными сфч)ическими координатами х = orsini?cosQ, j/ = brsinisina, z =

= cr COS 1?.

+Я -3? -l-3g

+9, a/

-Я с

Рис. 8

98. Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольца с радиусами а и 6 (а > 6) и зарядами qn -q соответственно, расположены в одной плоскости. Найти потенциал ip на большом расстоянии от этой системы зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см. задачу 94).

99*. Показать, что распределение заряда р = - (р • V)(5(r) описывает элементарный диполь с моментом р, помещенный в начало координат. Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением -функции (приложение 1).

Указание. Исходить из разложения по мультиполям в декартовых координа-

тах.

100. Доказать, что распределение зарядов

p = qt[{ai-V)S{v)

Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в некотором приближении рассматривать как эллипсоиды вращения