В случае б) потенциал V неизвестен и должен быть выражен через заряд Q шара. Очевидно,

Q = 2irj a{R, т?)Д2 sinт? di? = eVR -откуда V = + Используя задачу 96, можно записать (2) в виде:

q = Г2 = Vr2 + o2-2orcosT?, а =

Таким образом, потенциал точечного заряда и заряженного шара в области г > о сводится к потенциалу четырех точечных зарядов, расположенных на оси симметрии: заряда q на расстоянии о от начала координат и трех

его изображений - зарядов Q и = в начале координат и заряда -в гармонически сопряженной относительно поверхности шара точке а =

исчезать на бесконечности, поэтому ojm = 0. Вследствие симметрии потенциал не зависит от угла а, поэтому члены с тп О также отсутствуют. Оставшиеся константы bi = Ью определим из граничных условий.

В случае а) потенциал шара ipiR,) = V = const. Воспользуемся

разложением для из задачи 96:

№) = Е( + )(-) = -

Отсюда bi = щ- при I ф О, Ьо = VR - так что потенциал вне шара

г=о

Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:

Заряд -q описывает действие зарядов, индуцированных на ближайшей к q стороне поверхности шара. Знак этих зарядов, очевидно, противоположен знаку q. Заряд +q описывает действие зарядов одного с q знака, индуцированных на удаленной от q части шара.

Рис. 59

Рис. 60

Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар заземлен {V = = 0), то потенциал принимает вид

ег1 ег2 •

154. ip{M) = S.-±-+V (рис. 59), где

155. ipiM) = ±-l + l-±V (рис. 60), где

Заряд на выступе равен

Q = -q

156. ip = ipi = - вне шара, ip = щ =

eiRi

- в проводнике.

+ --в полости (рис. 61), где

eiRi

9 = - « =-о--

157. yi(r,T?) = g E • -T.Pii) rR;

1=0 £1 + ( + 1)£2 o+

£2 - El

д21+1 P,(cosj9)

„1+1

при rR,

где ri - расстояние от q до точки наблюдения. Здесь потенциал не мо-

Рис. 61

жет быть представлен простой системой изображений, в отличие от случая проводящего шара. При ei -» оо получим результат задачи 153.

158.

Я , £1 - £2 / + 1 а¥

где Г1 - расстояние от точки наблюдения до заряда q. При 0 = 0,

1 eirV siJsoR £2Г-