140. а) Введем цилиндрические координаты, как показано на рис. 56а. На плоскости ху поле имеет радиальное направление, его величина Е =

=---. Для вычисления силы F, действующей на один из заря-

дов, например, на левый, нужно просуммировать напряжения, приложенные к элементам dS этой плоскости со стороны, обращенной к другому заряду:

T,dS = -jE4S = --.-j,

если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда

Fz= T,dS = -sq у =

о

Именно такое значение обычно принимается для силы, действующей между зарядами в однородном диэлектрике. Однако, если провести то же самое вычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна F + AF,

Рис. 56

где AFz = ge получается за счет стрикционного члена. Но в те-

ории, учитывающей электрострикционные натяжения, нужно также учиты-

вать явление втягивания жидкости в поле и связанное с этим повышение

гидростатического давления в жидкости на величину Ар = Щ-, соглас-

отг от

но (III.25). Результирующая гидростатическая сила AFzr = -

си от

= -AFz. Полная сила взаимодействия зарядов F + AF + AFr = --

совпадает с той силой, которая получается без учета стрикционных сил и представляет собой, таким образом, результирующую электрических и механических сил.

б) Те же результаты получаются, если рассматривать действие натяжений на поверхности малой сферы радиуса R с центром в той точке, где находится заряд q, испытывающий действие силы (рис. 566). Введем сферические координаты и рассмотрим максвелловы натяжения = {Е -

- ЕеЛ, где Е = Ei -- Ег, Ei = -вг - поле заряда, испытывающего

действие силы, Ег = (е sin в-Вг cos в) - поле второго заряда, которое

можно рассматривать как однородное, так как расстояние между зарядами о » Д. Просуммировав натяжения, приложенные к поверхности сферы, получим

Рассмотрение стрикционных натяжений опять не дало бы ничего нового из-за гидростатической компенсации.

ISmg

141. ipo

где д - ускорение силы тяжести.

142. При zO: if = ipi = при z 4:0: ip = ip2 =

em 2

(£1 - £2) ei{ei +e2)

±

ei +e2 -1

143. = i

r dipl

dz J

ei -£2

z=0 2жг £l(£l--£2)

.=0=-2

При ег -»сю получаем случай точечного заряда q, находящегося в ди-

электрике £1, у границы с плоским проводником. При этом (Тсв -» -

27rrei

4о £l(£l+£2)

При е\>е2 заряд отталкивается от границы диэлектриков, при ei<e2 - притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим е, отталкиваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийся сначала в среде с меньшим е, притягивается к границе, пересекает ее и затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы удаляется на бесконечность. (Сказанное будет справедливо только в том случае, если пренебречь силой чтения, действующей на заряд со стороны среды.)

Приведенное значение силы F можно получить разными способами: а) рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов 9 и 9"; б) вычисляя силу, действующую на точечный заряд со стороны вязанных зарядов, находящихся на границе раздела дголектриков; в) с помощью тензора натяжений Максвелла. В последнем случае удобно рассмотреть натяжения, приложенные либо к плоскости раздела диэлектриков, либо к поверхности малой сферы, окружающей заряд.

145. F,= + . 9192

£i(£i -Ь £2) 4о 2(£1 -Ь £2)0 тр £2-£1 92 I 9192

£2(£1 -Ь £2) 4о 2(£1 + £2)0

Неравенство сил, действующих на заряды qi и 92 обьясняется тем, что эти заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему; имеются еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Векторная сумма сил, приложенных к этой границе и к зарядам 91 и 92, равна нулю, как и должно быть.

146. Если положить в металле </? = О, то в дголектрике ip = q/eri -- q/er (см. рис. 10: заряд q в точке А, заряд -q в точке В; е\ = е, £2 = сю). Член - д/ег2, обусловленный наведенным зарядом проводника и связанными зарядами диэлектрика, имеет такой вид, как если бы он описывал поле точечного заряда -q/e, находящегося в точке с координатой Z = -а. Заряд -q/e называется изображением заряда q/e относительно плоскости Z = Q (множитель 1/е учитывает влияние дюлектрика).

qa 92

а = ---5-, t = --

27ггЗ 4о2е

где г - радиус-вектор в плоскости z = Q.

Эта предельная плотность на самом деле представляет собой сумму плотностей связанного заряда на границе дюлектрика и свободного заряда на поверхности проводника.

144. F= -