115. Рассмотрим силовую трубку, полученную вращением некоторой силовой линии вокруг оси Z. Применив электростатическую теорему Гсса к обьему, ограниченному боковой поверхностью этой трубки и двумя плоскостями Z = const, не содержащему внутри себя зарядов, найдем, что поток через любое нормальное к оси сечение трубки Ф{z) = Qiiiz) (см. зада-

чу 113) не зависит от z (при изменении z между zk и Zk+i). Здесь Qiiz) = = 27r(±l - COS а») - телесный угол, под которым видна отрицательная сторона такого сечения из точки zu где находится заряд д»; - угол между направлением оси z и радиусом-вектором точки контура нормального сечения с координатами {r,z). Знак «-Ь» нужно брать при z > Zi, знак «-» при Z < Zi. Если при изменении z нормальное сечение трубки перейдет через заряд qk, то {z) скачком изменится на ±47Г9> однако при этом не изменится YlQiCOsai. Выразив cosaj через z, Zi и г, получим искомое

уравнение семейства силовых линий:

Qijz - Zi)

+ iz- ZiY

= C, с = const.

117. Выберем цилиндрическую систему координат, ось z которой совпадает с осью цилиндра (рис. 52). Вместо условия р\ = const на

поверхности S цилиндра удобнее использовать вытекающее из него условие = 0. В результате дифферен-

цирования получим

х\х\

Д2-Ьх? -1Rx2Ga&o.

Рис. 52

Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cosa и без него. В результате получим, что при >с\ = эквипотенциальной поверхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой параллельна заряженным нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус удовлетворяет условию = х\Х2. При xi = О существует решение = 0. Этот случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле одной нити.

118. Воспользуемся рис. 53 Радиус R искомой сферы и положение ее центра определяются уравнениями

Р2 , , •l

Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю.

119. А(р = qA

= qA+qA

= -4»9«(r) + 224 Таким образом, имеется точечный заряд q в начале координат и сферически симметрично распределенный обьемный заряд с плотно-

стъю р =--pdV = -q.

Рис. 53

120. Точечный заряд ео в начале координат, окруженный обьемным

зарядом с плотностью р(г) = -" . Такой вид имеет распределение

заряда в атоме водорода (ср. с задачей 83)

121. U = Jfp{r)dV = -Jre~<4гdr = -.

122. и

123. и

124. Я

125. и =

Я1Я2

а 327га

9192

Х1Х2 dh dh 9192

27г27г

оЬ dZi dh

li I2 4жаЬ о о y/c+d+b-2abcos{ai -02)

где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dli и dl2, ai и аг - углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по йаг

fc= . а К{к)= f-=

- полный эллиптический интеграл первого рода.

При I формулой

При вычислении силы F = -Щ = -Щ-ф- нужно воспользоваться

ос ОК ос

2

(см. справочник [90], 8.112), где Е{к) = J \/l - кsii?ada - полный

эллиптический интеграл второго рода. Окончательно,

qiq2ck Е{к)

47г(аЬ)3/2 l-fc2-

126. F = -H£(PJ[)+, N=«

. sini?isini?2CC)S( - 2cosi?icc)si?2 127. U=piP2--,

где i?i = Z(r,pi), i?2 = (Г)Р2). V - угол между плоскостями (r,pi)

И(Г,Р2),

, „ sinjjisinjjgcosw -2cOSl?iCOSl?2 F = 3piP2-4-•

Сила максимальна при =&2 = = О, т. е. при параллельных диполях.

128. С/21 = !pir)Mr)dV = Taim!rYim{,a)dV =

= E<4mQl[rn-l,m

и делая замену ai = тг - 2а, получим

TTVab

2Vab