Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

92. Вследствие аксиальной симметрии поля уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах (полярная ось направлена вдоль оси симметрии системы), принимает вид

+1 + = 0 (1)

Будем искать решение уравнения (1) в форме степенного ряда по г:

ip{r,z) = Y,an{z)r, ao{z) = ip{0,z){z), (2)

где Ф(2) - потенциал на оси симметрии системы.

Подставив (2) в (1), перегруппировав члены и приравняв нулю коэффициенты получившегося ряда, найдем рекуррентные соотношения для определения коэффициентов а„(2), откуда:

п=0

Ea = Q, E, = - = -{z) + ...

93. Нужно вычислить мудьтиподьные моменты

«" = \/5/#T5"(f«)"-

Используя формулы (П2.1), (П2.5) приложения 2, найдем:

¥(r,) = fE(-l)"()X(cos) при г Ж,

(r,) = ityr{iy"Pnicos) при r<R. Обе формулы справедливы также при г = R Ф.



б) и

„3 1

95. а)у "Л*) 3l5cosi?-9cosi?.

Ibqabcxyz 15goi)csini?cosi?sinQcosQ

96. pMa)=qZYi*Jo,ao)Yim{,a) при г < го; (г,1?,а) = дЕ2Г--1тГг-(о,ао)Ги,а) при г > го.

о- / ч 9 , а=(За;=-г=)--Ь=(3,=-г=)--с=(Зг=-г=)

97. i-i--i---.

В случае эллипсоида вращения (а = 6) В случае шара (а = 6 = с)

98. В сферических координатах с полярной осью вдоль оси симметрии системы и полюсом в центре колец

ip{r,i9) =-----=-.

Это - потенциал линейного квадруполя, у которого заряды -q нахо-дятся на расстоянии ---от центрального заряда 2q.

99. Вычислим мультипольные моменты:

q = - jip V)(J(r)dV = - j>{p n)5{r)dS = 0.

94. а)«,а3 = 2,а:; 3qa sin & cos а sin а



Ра = - /ха{р V)J(r) dV = -jХаРп dV = lpnSir) dV.

Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. По повторяющемуся индексу п подразумевается сум-z мирование. Возникший при этом поверхностный интеграл обращается в нудь, так У как 6{т) = О при г 0. По определению й-фушщии

P° = = PvPon = Ра-

Все мудьтипольные моменты более вы-49 сокого порядка пропорциональны компо-

нентам г при г = О и поэтому обращаются в нудь. Рассмотрим, например, компоненты квадрупольного момента. Действительно,


= 0.

= -/ XaX0p-6V = J S{r)pdV = раХ0+р,х,

100. После п-кратного интегрирования по частям получим ipir) = У Sir) П(а,. V) = 9 П(а,. V)i.

101. Проще всего, воспользовавшись формулой у? = -----

(см. ответ к задаче 94), выразить в ней z через х, у, z (рис. 49). Получим

ip= [3(а;sin7cos/3-bysin7sin/3-1-2cos7)-г] =

= [3(cos 1?cos7 -I- sin 1? sin7cos(a - (3)) -1].

так как 5{т) = О всюду, кроме г = 0;




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.0387