66. х = ±

(е + а)(С + а)

г = ±

(е+ь)(с+ь)

гдеД« = V( + a2)(e + 62), Дс = \/(С + а2)(-С-Ь2);

г2 9а2"

67. hf = h„= °-, /iq = -;

(ch - cos т))

d\ch-cosT]dJ

Sin 77

sin?? Эту V ch - cosrtdrjJ sii? 7?(ch - cost?) dai 68. Поверхности p = const - тороиды:

{/xП - acthp)2 + = (-);

поверхности = const - сферические сегменты:

ho = he =

ch p - cos

ha =

gshp ch p - cos

Глава II

ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

69. ipx = -2i:z, Ei = -47rp2e (ll < ),

Ось z направлена по нормали к поверхности плиты.

70. (p{x,y,z) = 2ц2° 2 У-

71. При z>0: ip = е-sin ах sin I3y;

при 2 < 0: (р= Щ°е sin ах sin у, А = y/ol.

Экспоненциальное убывание потенциала вдоль оси z объясняется тем, что плоскость содержит разноименно заряженные участки.

72. Самый простой метод решения - с помошью электростатической теоремы Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения Пуассона необходимо воспользоваться выражением оператора Лапласа цилиндрической системе координат и использовать тот факт, что вследствие симметрии системы у? зависит только от г.

При объемном распределении заряда:

= ldr = -2xln, Е2 = (rR).

Ч>2

При поверхностном распределении заряда = О, = -2teln -5.

74. ip{x,y,z) = --ln

z-a+(z-a)+x + y

г + а+/(г + а)2 + а;2 + 2/2 75. Введем обозначения

zi+n

= Z + a, Z2= Za, ri,2 = \JX + y" + ZI2, С =

22 + Г2

Из результата предыдущей задачи следует, что

П + Г2 = 2a3Y = const (1)

(нужно учесть, что zi- Z2 = 2а).

Равенство (1) показывает, что эквипотенциальные поверхности представляют собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка.

¥2(г) = , Е2 = (гД).

11. <i(r) = -, Ei = 0 (г<Д); 4>2{r) = l, Е2 = Р (г>Д).

78. Электрическое поле в полости однородно:

Е = 7грг - 7гр(г - а) = 7гра.

79. 9 = 47га(Д2 - Д1);

-£3 = 4-; Уз = - при г Д2.

где X - заряд на единицу длины. Произвольная постоянная в потенциале выбрана так, что ip = 0 при г = 1.