Мультипольные моменты q, ра, Qa0 выражаются объемными интегралами:

- полный заряд системы,

д = j p{T)dV Pa = J р{т)ха dV - компоненты дипольного момента, Qa0 = J p{T)xaxi} dV - компоненты квадрупольного момента.

(II.8)

Величины q, ра, Qa0 • • • при повороте системы координат преобразуются соответственно как скаляр, вектор, тензор II ранга и т.д. Второй и третий члены потенциала (II.8) могут быть записаны в форме

,(Р) ElE

(П.9)

R = r-r

r(r,i?,a).

где р = (px,Py,Pz) - вектор дипольного момента системы;

¥,№) = [(3x2-r2)Q..+

+ (Зy-r)QJ,J, + (3;г-r)Q„+

+ QxyQy + QxzQz + QyzQyz] (П.9)

Сферические координаты. Используем разложение Ir-rl", приведенное в приложении 2 (П2.15). Подставляя это разложение в (II.7), получим при г > г:

Рис.7

оо I I-

у?(г)

QlmYlrn{d,a)

(г > г),

где Qim - мультипольный момент порядка I, т;

Qlmyllp{ry%*mi,a)dV.

Если г > г, то в (П11,15) гиг меняются местами и

оо /

1=0 7П=-1

) (г<г),

(11.10)

(11.11)

(11.12)

Если точка наблюдения г находится внутри распределения зарядов (см. рис. 7), то нужно разбить область интегрирования в (II.7) на две части сферой радиуса г с центром в полюсе О. При интегрировании по области внутри сферы нужно пользоваться разложением (П2.15), при интегрировании по внешней области - формулой (П2.15) с заменой г г.

Реальные системы зарядов всегда ограничены, и их потенциал убывает на больших расстояниях не медленнее, чем 1/г. Но при рассмотрении поля вблизи средней части длинного цилиндра или ограниченного плоского тела целесообразно идеализировать задачу, считая тело бесконечным. При этом потенциал не убывает на бесконечности, но он правильно описывает поле на расстояниях, малых по сравнению с размером тела.

Наглядное представление о структуре поля дают силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Силовые линии определяются из системы дифференциальных уравнений, которая в произвольных ортогональных координатах qi,q2, qs имеет вид

hidqi h2dq2 hdgz

-FT- = -FT- = -(И-14)

rjl rj2 3

где hi - коэффициенты Ламэ; эквипотенциальные поверхности описываются уравнением </?(г) = const.

Точками равновесия поля называются такие точки, находящиеся на конечном расстоянии от системы зарядов, в которых Е = 0.

Энергия электростатического поля может быть вычислена по одной из формул:

W=-jEdV, W = JpipdV (11.15)

(эти формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в конечной области пространства, а интегрирование распространяется на все пространство).

Энергия взаимодействия двух систем зарядов 1 и 2 определяется выражениями:

и = ишм = I еЩЩ. (....6)

J J Г1-Г2

Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены дифференцированием и или W по соответствующим обобщенным координатам а,:

« = -g ™, F, = -e ,...17,

Обобщенная сила положительна, если она стремится увеличить соответствующую координату.

69. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена по обьему с плотностью р. Найти потешщал у? и напряженность Е электрического поля.

70. Заряд распределен в пространстве по периодическому закону р = = Ро cos ах cos cos 72, образуя бесконечную пространственную периодическую решетку. Найти потешщал у? электрического поля.

71. Плоскость Z = Q заряжена с плотностью, меняющейся по периодическому закону <7 = <7о sinaxsin/3y, где «то, а, /3 - постоянные. Найти потешщал у? этой системы зарядов.

72. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по обьему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд х. Найти потенциал <р и напряженность электрического поля Е.

1Ъ. Найти потенциал у? и напряженность Е электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.

74. Найти потенциал у? и напряженность Е электрического поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего часть оси Z от -а до Ч-а; заряд отрезка q.

75. Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.

76. Найти потенциал (р и напряженность Е электрического поля шара, равномерно заряженного по обьему. Радиус шара R, заряд q.

11. Найти потенциал у? и напряженность Е электрического поля сферы радиуса R, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы q.

78. Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по обьему с плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой а центр отстоит от центра шара на расстоянии а {а + Ri < R). Найти электрическое поле Е в полости.

79. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы юзторых Ri и R2 {R\ < R2), заряжено с объемной плотностью р =

Найти полный заряд q, потенциал (f и напряженность Е электрического поля. Рассмотреть предельный случай Д2 -» Д1, считая при этом q = const.