37. div г = 3, rot г = О, grad(l • г) = 1, (1 • V)r = 1.

38. rot(a; х г) = 2ш.

41. gradyj(r) = yj; divyj(r)r = Зу? + пр; rotyj(r)r = 0; (l.VMr)r = l¥P + ¥p.

42. y,(r) = £.

43. div(r • a)b = a • b, rot(r • a)b = a x b, div(a • r)r = 4(a • r), rot(a • r)r = a X r, div(a x r) = 0, rot(a x r) = 2a, div ip{r) (a x r) = 0,

rotyj(r)(a X r) = (2yj + пр)а. - ip, div г x (a x r) = -2(a • r), rotr X (a X r) = 3(r X a).

44. gradA(r)r = A+(r-A), gradA(r)-B(r) = (A-B+A-B), div¥p(r)A(r) = i(r.A)+(r.A), rot¥p(r)A(r) = !£l(rx A)+(rx A), (l-VMr)A(r) = br(v>A + ¥pA).

45. -grad-3 = rot-; проекции этого вектора на базисные орты вг, , Ва равны соответственно

Зр cos 1? р sin 1?

-;:з- - о-

Векторные линии образуются пересечением двух семейств поверхностей: а = С\,г = С2 sin 1?, а также особое решение i? = О, тт.

Здесь и далее в этом параграфе штрихом обозначено дифференцирование по г.

§2. Векторный анализ

(ДА), = AAr - \Аг - (sinMtf) -(ДА), = ДА, - + "

/д\ Aq 2 ЭА- 2COS1? ЭА,

" T-2 sin2 r2 Sin dar sir? д да

(ДА). = ДА.--,

(ДА).=ДА.- + , (ДА), = ДА,.

49. /(grad if • rot А) = /(А х grad у?) dS = / у? rot А dS.

50. Здесь, как и в ряде других случаев, удобно рассмотреть скалярное произведение интеграла на произвольный постоянный вектор с:

с-T{a-n)dS = j>{c- г)а„ dS = j div[(c • г)а] dV =

= (a-c) jdV = {a-c)V.

Поскольку с - произвольный вектор, то отсюда следует, что, /(а • п)г dS = = aV. Таким же способом получим /(а • r)nd5 = aV.

51. rnpdS = f graAipdV, /(n x a)d5 = / rotad,

/(n • b)ad5 = /(V • b)ady = /(b • V)ady + /a(divb) dV.

55. Используя метод задачи 50, получим §(pd\ = /(n х grad ip) dS, n - орт нормали к поверхности.

56. /(gradи X gradf)-ndS.

61. a)A + f; 6)A + Slntg; в)А + Ва.

62. a)A + Slnr; 6)A + Sa; b.)A + Bz.

а; = ±

у = ±

z = ±

( + a)(7, + a2)(C + a2)

2м о

(6-a)(c2-a2)

( + б2)(„ + б2)(С + б2)

(С2 б2)(а2-б2) ( + С2)(7, + С2)(С + С2)

(а2-с2)(б2-с2)

/11 =

С) . y/{ri-0{ri-i) V(C-0(C-7?)

+ (C-Oi-(i-)+(e-.)c(i)

где Д„ = V(w + a)(w + b)(w + c2).

Из формул (1) видно, что каждой тройке значений , rj. С, соответствуют восемь троек х, у, z.

Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат можно, найдя grad, grad 77, grad С и составив скалярные произведения grad-grad?; и т. д., которые оказываются равными нулю, grad, grad77, grad С можно найти непосредственно из уравнений, определяющих , 77, С,, беря градиент от обеих частей каждого из этих уравнений и используя (1).

65. z = ±

г = ±

(е + а)(г, + а)

2 Щ

. 1 У-?7 .

гдеД« = ( + а2)( + с2), = (г) + а){-г) - сУ,