±10 0 О ±1 О о о ±1

Знак минус имеют те диагональные элементы определителя, которые соответствуют отраженным осям. Ясно, что а = --1 при четном числе таких осей и -1 при нечетном их числе.

24. Из 27 величин Ciki отличны от нуля только шесть. Остальные имеют хотя бы два одинаковых индекса и в силу антисимметрии обращаются в нудь {еик = -ецк = 0). Отличные от нуля компоненты равны

6123 = ез12 = 6231 = -6321 = -6213 = -6132 = 1-

Составим выражение auotikOtsieiki- Вспомнив определение детерминанта третьего порядка и используя определение Ciki, запишем это выражение в виде auoiikOiaieiki = S = -1-1 = 6123. Переставив теперь слева два индекса, например, 1 и 2, получим

Oi2iOiikOi3ieiki = -OiikOi2iOi3iekii = -еиз = 6213 • • •

Из этих равенств видно, что Ciki преобразуются при поворотах как тензор III ранга. При отражениях величины eiki не меняются, поэтому совокупность их образует аксиальный тензор III ранга. Он обладает любопытным свойством: его компоненты во всех координатных системах одинаковы.

25. Запишем тензор Aik в виде таблицы:

/ О Ai2 -АзА Aik = [ -Ml О 23 . \ Аз1 -А23 О /

22. Доказательство одинаково для любого числа измерений. Пусть матрица коэффициентов преобразования а, а ее определитель а. В силу ортогональности матрицы а имеют место г? равенств акоцк = бц. Замечая, что в левых частях этих равенств стоят элементы определителя, равного произведению двух определителей а, получим а-а = 1 = 1 иди ар = = 1. Отсюда следует, что а = ±1.

Докажем, что при поворотах а = +1. Если поворот производится на нулевой угол (тождественное преобразование), то а = 1 = 1; поскольку элементы матрицы а являются непрерывными функциями параметров, задающих поворот (например, углов Эйлера, см. ответ задачи 17), то и при повороте на конечный угол а = 1.

При отражениях определитель а имеет вид

Обозначим Агз = Ai, А31 = А2, Аи = A3. Эти три равенства можно записать как = CikiAki, где Ciki - совершенно антисимметричный единичный тензор III ранга, введенный в предыдущей задаче. Но поскольку вгы является тензором III ранга, а Aki - тензором II ранга, величины Аг (г 1,2, .3) образуют вектор. Ai называется вектором, дуальным тензору Aik.

26. (А X B)i = CikiAkBi, rotjA = ejj--A x В и rot A можно

рассматривать как антисимметричные тензоры II ранга или как дуальные им векторы, компоненты которых не меняют знака при отражениях (псевдовекторы).

28. а) а2(Ь • с) + (а • Ь)(а • с); б) [(а х Ь) х с] • [(а х Ь) х с].

30. (а- а)(Ь• Ь)(с• с) + (а- b)(b• с)(с• а) + (Ь• а)(с• Ь)(а• с) -- (а • с)(с • а)(Ь • Ь) - (а • b)(b • а)(с • с) - (Ь • с)(с • Ь)(а • а).

31. Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.

а) Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы во всех системах отсчета, то при любом повороте = а», т. е.

Ах = Ах, Ау = Ау, А = А. (1)

Повернем систему координат вокруг оси z на угол тт. Из формул преобразования компонент вектора при вращениях А[ = оцкАк получим, что

Ах = ~Ах, Ау = -Ау, Aj, = Ag. (2)

Равенства (1) и (2) совместимы только в том случае, если Ах = Ау = 0. Произведя поворот вокруг оси х на угол тг, точно так же докажем, что = О, т.е. вектор А = О, если его компоненты не зависят от выбора системы отсчета, что и требовалось доказать.

б) Любой тензор II ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: Tik = Sik + Aik. Антисимметричный тензор эквивалентен некоторому псевдовектору (см. задачу 25) и, в силу доказанного выше свойства вектора, его компоненты не зависят от системы отсчета только тогда, когда они равны нулю. Поэтому рассмотрим симметричный тензор Sik.

Выберем систему координат, в которой Sik имеет диагональный вид A(*)(5ifc. Если А(*) не равны друг другу, то компоненты тензора будут зависеть от выбора осей, т. е. от того, какой цифрой (1,2 или 3) обозначена данная ось. Только при А = А = А = А компоненты тензора не будут зависеть от выбора осей. При этом тензор будет иметь вид XSik, что и требовалось доказать.

Под операцией свертывания тензора понимается суммирование тензора по двум одинаковым значкам.

32. Искомые средние значения равны соответствуюоцш интегралам:

rH = -jnidn, Щп=jniUkdn... (1)

Однако вместо прямого вычисления интегралов в этой задаче удобнее применить другой метод, основанный на использовании трансформационных свойств рассматриваемых величин. Очевидно, что величины щ, Щпк и т. д. являются тензорами соответственно I, II, III, IV рангов. С другой стороны, из их определения (1) следует, что эти величины должны быть одинаковыми в любой системе отсчета. Поэтому они будут выражаться через такие тензоры, компоненты которых не зависят от выбора системы отсчета.

Рассмотрим с этой точки зрения щ. Поскольку нет вектора, кроме нулевого, компоненты которого не зависели бы от системы отсчета (см. задачу 31), то Щ = 0.

Тензор щпк должен выражаться через симметричный тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах отсчета. Таким тензором является только Sik. Поэтому можно написать

mnk = XSik. (2)

Для определения Л свернем тензор по двум значкам:

щщ = = 1 = ЗА, А = i

Рассуждая аналогичным образом, найдем

щпШ = 0,

ЩПкЩПт = {Sik Sim + Sil Skm + SimSkl)- (3)

33. ia.b, ia, a2, fa-b; [(a • b)(c • d) + (a • c)(b • d) + (a • d)(b • c)].

34. n • n, (n X n) • I.

35. n • 1, n • 1, ni • (П2 X Пз).