ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Глава I

ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров

I. созв = п • п = cos 1?cos 1? + sini?sini?cos(a - а).

3. Так как 6» (г = 1,2,3) - компоненты вектора, то при повороте системы координат 6 = афк- Подставив 6 в равенство а\Ь\ = inv и сравнив с СкЬк = inv, получим Ск = «га, т. е. Ок преобразуются при поворотах как компоненты вектора. Поскольку инвариант (скаляр) при отражениях не меняет знака, компоненты а» и 6г, либо одновременно должны менять знак (полярные векторы либо не менять его (псевдовекторы).

10. (а X Ь)о = i(a i6+i - a+i6 i), (а х b)±i = ±z(ao6±i - a±i6o), (a. b) = 5 {-ira-,b„ r, = Jf-rYi,.

II. Тензор, обратный данному, удовлетворяет соотношениям

-1 ik

Это - алгебраические уравнения относительно компонент ei обратного

тензора. Их решения имеют вид

1 Ды

ik - У>

где Afct - алгебраическое дополнение элемента Sik в определителе £. Из формулы (2) следует, что для существования обратного тензора необходимо, чтобы £ ф 0. Учитывая известное свойство определителя Afci£fc/ = 6ц\е\,

убеждаемся, что обратный тензор удовлетворяет, наряду с (1), также условиям

ikki = hi- (3)

Если £ik - симметричный тензор, заданный в главных осях: £ik = £Sik (здесь суммировать по г не нужно), то

14. Tik образуют тензор II ранга.

Рис. 46

Рис. 47

15. При преобразовании -> е< по формулам е< = aikBk, коэффициенты aik = i • имеют смысл проекций новых ортов на старые. Выполняя проектирование (рис. 46,47), получим следующие матрицы преобразования:

при переходе от декартовых координат к сферическим, /sin 1? cos а sin 1? sin а cosi? \

cos 1? cos а cos i? sin a \ -sina cosa

-Sim 0

(sin V COS a cos i; cos a - sin a\ sin 1? sin a cos i? sin a cos a C0S1? -sini?

0 /

при переходе от декартовых координат к цилиндрическим,

sina 0\ /cosa -sina 0\

cosa О О

(cosa - sin а cos а О О О 1/

а = I sina

в случае поворота.

5И =

/ cos а sin а 0\ - sina cosa О

V О 0 1;

Направление отсчета угла а и направление оси z удовлетворяют правилу правого винта.

17. Воспользовавщись результатами предыдущей задачи, получим

5(ai0a2) = g{a2)g{9)g{ai) =

cosai cosa2-cosflsinai sina2; sinai cosa2--cos6cosai sina2; sin6sina2 cosai sina2-cosflsinai cosa2; -sin ai sin 02-boos б cos ai cos 02; sin6cosa2 sin ai sin в -sin в cos ai cos в /

f i(l-bcose)e(«i+«=i); ieia2; -1(1 -cose)e*(«2-ai)

-i(1 - cose)e*(«i; - sinOe*"; i(1 -b cose)e-*(«i+«2)

19. Так как матрица поворота на нулевой угол (тождественное преобразование) равна 1, то при повороте на малый угол \Sik\ <С 1. Для доказательства соотнощения Sik = -еы воспользуемся инвариантностью = = SikXiXk относительно вращений. Поскольку х = очкХк = Xi+ SikXk, то с точностью до малых величин первого порядка имеем г = -Ь 2sikXiXk. Из инвариантности следует, что SikXiXk = О при произвольных х», а это возможно только при Eik = -Ski- Введем вектор 5(р с компонентами S(fii =

= eikiSki- Тогда г = т + S(p X т, откуда видно, что Sep представляет

собой вектор малого угла поворота, направление которого указывает ось вращения, а величина - угол поворота.

16. Обозначив через д матрицу, связывающую компоненты вектора в системах 5 и 5 (А< = дгкАк), имеем: в случае отражения,

/-10 0\ 5- = О -1 О ; V О 0-1/