-p=Vt (XIV.14)

(п - концентрация электронов, е и m - их заряд и масса) называется ленг-мюровской частотой, или частотой плазменных колебаний. Она характеризует частоту колебаний электронов относительно ионов. Такие колебания возникают при любом разделении зарядов в плазме (см. задачу 871). Ю)р-ректное описание плазмы в случае быстропеременных полей производится с помощью уравнений Максвелла и кинетического уравнения Больцмана, рассмотрение которого, однако, выходит за рамки этой книги.

860*. Вязкая несжимаемая проводящая жидкость движется между двумя неподвижными параллельными плоскостями в направлении оси z

dp „

под действием постоянного градиента давления - = const. Проводимость

жидкости сг, коэффициент вязкости ту, расстояние между плоскостями 2а. Перпендикулярно плоскостям в направлении оси х приложено постоянное и однородное внешнее магнитное поле Hq. Вычислить зависимость скорости жидкости от x и добавочное магнитное поле, возникающее в движущейся жидкости. Проанализировать результат для больших и малых значений Яо.

861. Вязкая несжимаемая жидкость находится между параллельными плоскостями x = ±о. Плоскость x = -а движется со скоростью -vq, а плоскость ж = а - со скоростью vq в направлении оси z. Градиент давления отсутствует, электропроводность жидкости сг и коэффициент вязкости Г] заданы. Перпендикулярно плоскостям приложено однородное магнитное поле Яо. Вычислить скорость жидкости и добавочное магнитное поле в ней.

862. Вдоль цилиндрического столба горячей плазмы, радиус которого о, течет ток J, распределенный по сечению с плотностью j{r). Как зависит от г давление плазмы, если оно уравновешивается магнитным давлением, создаваемым текущим вдоль столба током?

Пусть плазма является изотермической и удовлетворяет уравнению состояния идеального газа. Выразить силу тока f через температуру Г плазмы

Если проводимость низкая или скорость v мала, то в уравнении (XIV.8) можно пренебречь членом rot[v х Н], и оно примет вид (VII. 12).

При больших частотах изменения поля становятся существенными процессы разделения зарядов в плазме и токи смещения. Диэлектрическая проницаемость плазмы в пренебрежении потерями электромагнитной энергии имеет вид

е{ш) = 1-ш1/иР, (XIV13)

где величина

Модель, рассматриваемая в этой задаче, использовалась Паркером для описания межпланетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром).

и полное число N частиц одного знака, приходящихся на единицу длины столба плазмы. Вязкостью пренебречь, рассмотреть стационарное состояние плазмы с V = 0.

863. Как должен быть распределен ток по сечению плазменного столба (см. условие предыдущей задачи), чтобы давление плазмы было постоянным по сечению?

864. Плазма испускается изотропно во все стороны с поверхности шара радиуса о, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью П. Скорость плазмы v постоянна по величине и направлена по радиусу. Вблизи поверхности шара существует магнитное поле, которое в системе, вращающейся вместе с шаром, имеет значение H(o,i?,q) = = Ho(i?,a), где а отсчитывается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Плотность энергии плазмы велика по сравнению с плотностью энергии магнитного поля, так что влиянием поля на движение плазмы можно пренебречь. Предполагая магнитное поле вмороженным в плазму, найти его зависимость от координат и времени в области г > а в неподвижной системе отсчета.

865. Найти вид силовых линий межпланетного магнитного поля в модели Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче. Определить величину магнитного поля и угол в между силовой линией и радиальным направлением на орбите Земли, задавшись следующими значениями параметров: радиус Солнца о = 0,7 • 10 а= км; среднее магнитное поле на поверхности Солнца Яо W 1э; радиус орбиты Земли го w 1,5 • 10* kw; угловая скорость вращения Солнца П = 2,7 • 10~рад/сек; скорость солнечного ветра v = = 300 км/сек.

866. На плазменный цилиндр действует однородное магнитное поле Н, направленное вдоль оси цилиндра, и радиальное электрическое поле Е. Вычислить ту часть энергии системы, которая связана с электрическим полем, приняв во внимание электрический дрейф плазмы. С помощью полученного выражения для энергии определить поперечную диэлектрическую проницаемость е± плазмы, находящейся в магнитном поле.

867. Квазинейтральная плазма находится между плоскостями х = = ±d. Пусть в некоторый момент времени произошло разделение зарядов, в результате которого все электроны оказались в плоскости х = d, г. все ионы - в плоскости X = -d. Из-за электростатических сил заряды станут совершать колебания. Пренебрегая столкновениями частиц, найти частоту и> этих колебаний, если средняя концентрация частиц одного знака равна п.

где г; = Т/т, второй член в скобках мал по сравнению с единицей. Вычислить фазовую и групповую скорости продольных плазменных волн.

871. В момент t = О в плазме нарушилась нейтральность заряда, в результате чего возник обьемный заряд с плотностью р(г, 0).

а) Вычислить плотность p{r,t) для t > О, использовав значение диэлектрической проницаемости плазмы (XIV. 13).

б) Как изменится качественно результат, если учесть тепловое движение частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для ец, приведенной в условии предыдущей задачи, выбрав

p(r,0) = A)f ехр[-()

, 2п

, где ро = const, жо = const.

ЛИТЕРАТУРА

Джексон Дж. [52], Лонгмайр К. [74], Франк-Каменецкий Д. А. [109], Нортроп Т. [82], Вопросы теории плазмы [28], Силин В. П., Рухадзе А. А. [91], Альвен Г., Фельтхаммар К. Г. [2].

868. Найти глубину проникновения электромагнитного поля в плазму при разных частотах. Для этого рассмотреть нормальное падение электромагнитной волны на плоскую границу плазмы, вычислить коэффициент отражения R и поперечное электрическое поле в плазме E(r,t).

Диэлектрическую проницаемость взять в виде (XIV. 13).

869*. Найти диэлектрическую проницаемость бесстолкновительной плазмы с учетом теплового движения электронов. Для этого проинтегрировать уравнение движения электрона во внешнем поле Е = Ео ехр[г(к • г -- wt)], вычислить плотность тока, создаваемого одной частицей, и произвести усреднение по начальному равновесному распределению координат и скоростей, считая его максвелловским. Ограничиться линейным приближением по напряженности электрического поля Е, движения ионов не учитывать. Заданы средняя концентрация электронов п и температура плазмы Г (температура измеряется в энергетических единицах).

870. Диэлектрическая проницаемость плазмы для продольного поля при учете теплового движения частиц имеет вид