854. На неподвижную частицу с зарядом е налетает ограниченный стационарный поток одинаковых нерелятивист- р, 45 ских частиц с зарядами е, массами m и скоростями V (рис. 45). Концентрация частиц

в потоке п. Вычислить силу, действующую на неподвижную частицу, пренебрегая взаимодействием налетающих частиц друг с другом. Обьяснить причину того, что при радиусе пучка Sm -> оо эта сила обращается в бесконечность. Сохраняется ли для силы бесконечное значение, если заряд е является одним из зарядов нейтральной плазмы?

Указание. Воспользоваться результатом задачи 713*.

855. «Пробная» частица с зарядом е и массой m движется со скоростью V в газе, состоящем из одинаковых заряженных частиц. Их массы т.

на бесконечности продольную составляющую скорости иц, рассеивается на заряде q. Считая применимым дрейфовое приближение и пренебрегая изменением продольной аюрости при рассеянии, найти, по какой силовой линии будет двигаться ведущий центр частицы после рассеяния. До рассеяния он двигался по силовой линии, уравнение которой в цилиндрических координатах с осью z, проходящей через заряд q и ориентированной вдоль поля, имеет вид г = I, <р = 0.

852. Магнитное поле Земли можно представить 1гоиближенно как поле точечного диполя с магнитным моментом = 8,1 • 10 гаусс • сл. Протон с энергией S = 50 Мэв в некоторый момент времени находится в плоскости магнитного экватора на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли и движется поперек магнитных силовых линий. Найти в дрейфовом приближении закон движения ведущего центра протона. За какое время Т он соверщит полный оборот вокруг земного щара? Каков ларморов радиус R протона? Радиус земного щара г. = 6380 км, его масса М = 6 • 10 г.

853*. Протон находится в плоскости геомагнитного экватора (см. условие предыдущей задачи) на расстоянии г от центра Земли, его импульс составляет угол а с направлением магнитной силовой линии, а) Пренебрегая гравитационным полем, показать, что ведущий центр протона, наряду с движением вдоль магнитных силовых линий, будет испытывать азимутальный дрейф, и найти угловую скорость дрейфа wd, выразив ее через г и геомагнитную щироту А. б) Указать значения Am, соответствующие точкам отра- v

жения частиц в земном магнитном поле. /~\

в) Найти условия, при которых протон может достичь поверхности Земли.

§ 2. Коллективные движения в плазме

Плазма, т.е. ионизованный газ или проводящая жидкость, состоит из свободных зарядов. При наложении на такую систему электрического и магнитного полей могут возникать макроскопические движения вещества. В свою очередь макроскопические движения приводят к возникновению электромагнитного поля. Поэтому плазма, как правило, представляет собой систему сильно взаимодействующих между собой вещества и электромагнитного поля. Анализ поведения такой системы очень сложен, цельная и законченная теория поведения реальной плазмы в настоящее время отсутствует.

заряды е, концентрация п, распределение по скоростям описывается фикцией /(v) (/ /(v)(dv) = п). Записать выражение для средней силы F(v), действующей на «пробную» частицу.

Указание. Использовать результат, полученный при решении предыдущей задачи. Зависимостью кулонова логарифма от скорости пренебречь.

856. Пробная частица с зарядом е и массой m движется в среде, состоящей из беспорядочно распределенных неподвижных бесконечно тяжелых одинаковых частиц с зарядом е и концентрацией п. Как меняется во времени энергия и импульс пробной частицы под действием средней силы со стороны среды?

857. Частицы среды имеют одинаковые по абсолютной величине скорости Vq, распределенные сферически симметрично, заряды е и массы т. Вычислить среднюю силу F, действующую на пробную частицу с зарядом е и массой т, которая движется со скоростью v.

858. Решить предыдущую задачу для случая, когда частицы среды движутся с одинаковой по величине и направлению скоростью vq.

859*. Электроны в плазме совершают беспорядочное тепловое движение и, кроме того, имеют упорядоченную составляющую скорости, которая возникает под действием однородного электрического поля Б, созданного внешним источником. Произвести порядковую оценку зависимости средней силы трения F от упорядоченной скорости и, считая, что грение вызвано столкновениями с неподвижными ионамиПоказать, что F как функция U имеет максимум, и оценить величину Fmax- Как будет вести себя электронный газ под действием электрического поля Е при Е < /„ах/

Если свободный пробег частиц плазмы много меньше характерных размеров области, в которой плазма движется, то ее движение можно описывать с помошью уравнений гидродинамики, в которых учтены электромагнитные силы. Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла в пренебрежении током смещения по сравнению с током проводимости, что справедливо при достаточно медленном изменении поля во времени. Такое приближение называется магнитогидродинамическим. Око применимо для достаточно плотной среды, в которой малость свободного пробега обеспечивается частыми столкновениями частиц друг с другом. Но гидродинамическое приближение можно применять и для списания движения бесстолкновительной (разреженной) плазмы поперек сильного магнитного поля. Роль длины свободного пробега в этом случае играет радиус циклотронного вращения частиц вокруг магнитных силовых линий.

Уравнения магнитной гидродинамики для несжимаемой проводящей жидкости можно записать в следующем виде:

I + (V . V)v = -iv(p + f) + (Н . V)H + Av, (XIV.7)

= rot[v X H] + AH, (XIV.8)

divv = 0, (XIV.9)

divH = 0. (XIV. 10)

Здесь v(r, t) - гидродинамическая (усредненная) скорость движения вещества; р = const - его плотность; р - давление; а - проводимость; i] - коэффициент вязкости.

Плотность тока и электрическое поле в движущейся жидкости могут

быть найдены из уравнения Максвелла rot Н = и закона Ома, который в движущейся среде принимает вид

j = a(E + ivxH). (XIV.11)

При очень высокой проводимости (сг -> оо) последний член в уравнении (XrV.8) играет малую роль, и оно принимает вид

= rot[v X Н]. (XIV. 12)

Силовые линии магнитного поля в этом случае «вморожены» в вещество: при движении вещества они движутся вместе с находящимися на них частицами вещества. Поэтому магнитный поток через любой контур, перемещающийся вместе с жидкостью, остается постоянным.