2 2

Wq - из

Определить энергию излучения Вавилова-Черепкова на единице пути Шв-ч» если скорость частицы удовлетворяет условию vEq > (р, где - статическое значение диэлектрической проницаемости. В каком интервале углов сконцентрировано излучение? Сделать численную оценку, положив

W0 = 6 • 10 сек~\ £0 = 2, v = c.

уравнениях удобно записывать в виде р = е5[г - го(*)], j = его<5[г - го(*)], где е - заряд частицы, ro(t) - ее радиус-вектор. Интегрирование уравнений Максвелла в общем случае диспергирующей среды производится путем разложения искомых величин (векторов поля) в интеграл Фурье по координатам и времени. При этом для определения компонент Фурье получается система алгебраических уравнений (см., например, задачу 826*).

Чтобы найти энергию излучения Вавилова-Черепкова на единице пути частицы, нужно определить электромагнитное поле, создаваемое частицей в среде, и подсчитать поток энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и бесконечного радиуса, окружающую траекторию частицы. Интеграл по времени от указанного потока энергии и даст полную энергию, излучаемую частицей на единице пути в виде электромагнитных волн.

Если радиус цилиндрической поверхности будет конечным (о), то интеграл по времени от потока энергии будет включать не только энергию излучения Вавилова-Черепкова, но и ту энергию, которая передается электронам среды, находящимся на расстояниях г > а от траектории частицы.

826*. Частица с зарядом е движется со скоростью v = const в однородной и изотропной среде. Диэлектрическая проницаемость среды е{ш), магнитная проницаемость р, = 1. Определить составляющие электромагнитного поля, создаваемого движущейся частицей.

827*. Частица движется в непоглощающем диэлектрике с постоянной скоростью v = 0с. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать создаваемое частицей поле на больших расстояниях от ее траектории. Показать, что достаточно быстрая частица будет излучать поперечные электромагнитные волны (эффект Вавилова-Черепкова). Найти условия возникновения этого излучения и полную величину черепковских потерь а;в ч на единице пути.

828. Частица с зарядом е движется с постоянной скоростью через вещество, диэлектрическую проницаемость которого можно приближенно описать формулой

£{ш) = 1 +

Быстро перемещающиеся токонесущие пучки частиц могут существовать в ускорителях и при некоторых видах разряда.

829. Получить условие cos в = определяющее направление излучения Вавилова-Черенкова, из рассмотрения интерферешщи отдельных волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории.

830. Черенковское излучение частицы можно рассматривать как следствие резонанса между собственными колебаниями среды и вынуждающей силой, связанной с движущейся частицей. Получить условие, возникновения эффекта Вавилова-Черенкова из сравнения частот собственных колебаний среды и вынуждающей силы.

831. Релятивистская частица, имеющая скорость v, проходит через диэлектрическую пластинку толщиной I перпендикулярно ее плоскости. Показатель преломления пластинки п, дисперсию не учитывать. Найти длительность г вспыщки черепковского излучения, которую зарегистрирует неподвижный относительно пластинки наблюдатель. Определить поток энергии / черенковского излучения через поверхность пластинки во время вспыщки. Краевым эффектом пренебречь.

832. Показать, что минимальная скорость движения частицы i;min> при которой возникает излучение Вавилова-Черенкова в данном направлении, удовлетворяет условию

где Vg - групповая скорость электромагнитных волн в диэлектрике, Шт - частота, при которой показатель преломления имеет максимум, в - угол между направлениями излучения и скорости частицы. Диэлектрик считается непоглощающим.

833*. Частица движется с постоянной скоростью г; = /Зс в недиспергирующей среде с проницаемостями е, . Определить электромагнитные потенциалы tp и А. Рассмотреть два случая v < v и v > v, тде v - фазовая скорость электромагнитных волн в рассматриваемой среде.

834. Прямолинейный провод, параллельный оси х, перемещается вдоль оси у со скоростью V = const в непоглощающей среде с проницаемостями е{ш), р{ш). В лабораторной системе отсчета провод электро-найтрален, по нему течет ток J в направлении оси ж. Найти условие, при котором возникает излучение Вавилова-Черенкова. Определить полную энергию излучения ш цС единицы длины провода на единице пути. Подсчитать тормозящую силу f, действующую на единицу длины провода со стороны созданного им поля.

9 9

где ш1 =

- . Определить потери энергии (~~) расчете на единицу пути на расстояниях от траектории частицы, превышающих межатомные расстояния о (параметр о должен быть выбран так, чтобы в области г > а было справедливо макроскопическое рассмотрение). Выяснить физический смысл отдельных членов в выражении потерь энергии.

Нейтральная система (сгусток) частиц, имеющая магнитный момент, излучает как магнитный диполь, если длина волны в среде много больше размеров сгустка.

Указание. Векторный потенциал имеет одну компоненту Ах{у, z, t). При выполнении обратного преобразования Фурье использовать правило обхода полюсов, сформулированное в задаче 833*.

835. Два точечных заряда ei и eg движутся с одинаковыми постоянными скоростями V вдоль одной прямой на расстоянии I друг от друга в среде с проницаемостями е(и)), р = 1{1 измерено в лабораторной системе отсчета). Найти энергию излучения Вавилова-Черепкова ш.ц на единице пути. Рассмотреть два случая: а) ei = eg = е; б) ei = -eg = е. Путем предельного перехода получить черепковские потери энергии точечного электрического диполя, ориентированного вдоль направления движения.

836*. Два точечных заряда +е и -е движутся с одинаковыми постоянными скоростями V на расстоянии I друг от друга в среде с проницаемостями е{ш), (1 = 1. Линия, соединяющая заряды, составляет угол а с направлением скорости (I и а измерены в лабораторной системе). Методом, использованным в предыдущей задаче, найти энергию излучения Вавилова-Черепкова ш ц на единице пути, считая I весьма малым.

837*. Магнитный диполь движется с постоянной скоростью v = 0с в непоглощающей среде, проницаемости которой е{ш) и (1{ш). Магнитный момент, измеренный в лабораторной системе, имеет величину m и ориентирован вдоль скорости. Определить потери энергии на излучение Вавилова-Черепкова Шв.ч на единице пути.

Указание. С помощью преобразования Фурье проинтегрировать уравнения для потенциалов. Движущийся магнитный момент создает ток j (г, t) = crottn5(r- -vt).

838*. Быстрая частица с зарядом е движется через непоглощающий диэлектрик с проницаемостью

е{из) = 1 + "