§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские

волны

Электромагнитное поле есть функция независимых переменных г, t. При рассмотрении многих вопросов удобно пользоваться разложениями Фурье для поля. Встречаются разложения следующих типов:

1. Разложение на монохроматические волны:

/(r,f)= У" /.(r)e--*cL;, (XII.39)

Л,(г) = y"/(r,f)e"*df. (XII.39)

2. Разложение на плоские волны:

/(r,t) = y"/k(f)e*--(dk), (XII.40)

/к(*) = (r,i)e--(dr). (XII.40)

Здесь / - какая-либо из компонент поля, (сЯс) = dkxdkydkz-

3. Разложение на плоские монохроматические волны:

f{r,t) = j fke(--\dk)dLj, (XII.41)

/ки. = У" /(г, f)e-»(--*) (dr) dt. (XII.41)

Из уравнений Максвелла следует, что частота ш является функцией волнового вектора к. Уравнение, выражающее зависимость ш = о;(к), называется дисперсионным уравнением. Вещественность компонент поля /(г, t) приводит к соотношениям:

L = f-., /к = /-к. fy.=f-y,-.- (XII.42)

Формулами (XII.40), (XII.41) описывается поле во всем бесконечном пространстве. Соответственно этому, интегралы в этих формулах распространяются на все пространство волновых векторов и на все координатное

оо оо

j f\t)dt = 4n j \Udu,

-оо о

I f{v,t){dr) = {2iffff\fv\\dk).

(XII.43)

Разложение на плоские монохроматические волны играет большую роль в квантовой электродинамике. 1Саждой такой волне в квантовой теории сопоставляются фотоны - частицы, движушиеся со скоростью света с. Энергия 8 и импульс р фотонов связаны с частотой ш и волновым вектором к соотношениями:

g = nLJ, р = ftk. (XII.44)

804. Доказать формулы (XII.43).

805. Найти связь между компонентами Фурье полей Б, Н и потенциалов А, (рассмотреть все три варианта разложений Фурье).

806. Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье для трех вариантов разложения Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной диспергирующей средой с параметрами е{ш), р{е), вообще говоря, зависящими от частоты.

807. Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца относительно юмпонент Фурье для потенциалов A(r,f) и (p{r,t). Рассмотреть все три варианта разложений Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной средой с параметрами е{ш) и р{ш).

808*. Разложить по плоским волнам потенциал (р кулонова поля неподвижного точечного заряда.

809. Разложить по плоским волнам напряженность электрического поля Е неподвижного точечного заряда е.

810. Точечный заряд движется в вакууме со скоростью v = const. Разложить поле (р. А, Е, Н заряда на плоские монохроматические волны.

пространство. Другая употребительная форма разложения на плоские волны, при которой рассматривается поле в ограниченном обьеме V, излагается во многих руководствах, например, в [65], стр. 167 или в [29], гл. 1.

При использовании разложений Фурье весьма полезны бывают соотношения (П 1.15) и (П 1.14) из теории (5-функции. В частности, с помошью соотношения (П 1.15) и формул (XII.42) могут быть доказаны формулы:

811*. Найти потенциалы ((г, t), А(г, t) поля равномерно движущегося точечного заряда е (см. ответ к задаче 610), используя разложения этих потенциалов по плоским волнам, полученные в предыдущей задаче.

Указание. Для вычисления интеграла по («Яс) сделать замену перемен-к

ных кх -► -, ку -> ку, kz -> kz (ось х v) и воспользоваться раз-

ложением поля неподвижного точечного заряда на плоские волны (см. задачу 808*).

812*. Нейтральная точечная система зарядов движется в вакууме равномерно со скоростью V. Найти электромагнитное поле (р{т, t), А(г, t), воспользовавшись разложением Фурье по плоским монохроматическим волнам, если электрический р и магнитный m дипольные моменты в лабораторной системе отсчета заданы.

Указание. Плотности элекгрического заряда и тока системы выражаются формулами:

j = crot[m<5(r - vt)] + [p<5(r - vt)], p = - div[p5(r - vt)].

813. Получить потенциалы поля равномерно движущегося магнитного диполя (момент то в системе покоя диполя). Скорость диполя v. Ограничиться двумя частными случаями: а) когда то v, б) когда то -L v. Воспользоваться формулами преобразования моментов, полученными в задаче 613.

814. Получить поле равномерно движущегося электрического диполя (момент Ро в системе покоя) с помощью результатов задачи 812* (см. ответ к задаче 612).

815. Показать, что компоненты Фурье разложения безвихревого вектора на плоские волны параллельны к (продольны), а компоненты Фурье соленоидального вектора - перпендикулярны к (поперечны).

816*. Записать уравнения, которым удовлетворяют в вакууме безвихревая и соленоидальная части векторов электромагнитного поля Б и Н. Показать, что безвихревая часть электрического поля Б(г,) описывает мгновенное (незапаздывающее) кулоново поле, определяемое распределением зарядов в тот же момент времени, для которого определяется Бц.

817*. Разложить свободное (р = О, j = 0) электромагнитное поле A(r,f) в вакууме на плоские волны (в этом случае <р = 0). Поле занимает неограниченное пространство. Представить амплитуды Фурье этих