Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

где а - постоянный параметр, -оо < р < оо, -тг < < тг, а - азимутальный угол, изменяющийся в пределах от О до тт.

Показать, что р = In (см. рис. 5, на штором изображены плоскости а = const, а -I- 7Г = const), а величины представляют собой угол между Г1 и Г2 ( > О при 2 > О и < О при z < 0). Какой вид имеют координатные поверхности р и ? Найти коэффшщенты Ламэ.

ЛИТЕРАТУРА

Смирнов В. И. [94, 95], Кочин Н. Е. [62], Тамм И. Е. [101], Стрэт-тон Дж. А. [100], Гельфанд И. М. [30], Гельфанд И. М., Минлос. Р. А., Шапиро 3. Я. [31], Морс Ф. М., ФешбахГ. [81], Лебедев В. П., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69].



Глава II

ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

в этой гааве содержатся задачи на определение потенциала у?(г) и напряженности поля Е(г) по заданному распределению зарядов, характеризуемому объемной р(г), поверхностной а{г) или линейной х{г) плотностью. Распределение точечных зарядов может быть описано объемной плотно-стъю р(г) = qiS{r - Гг), где Qi - величина г-го заряда, - радиус-век-

тор г-го заряда, S{r - Тг) - -функция (см. приложение 1). Напряженностъ электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла

div Е = 47гр, rot Е = 0. (П. 1)

Бывает полезна интегральная форма первого из этих уравнений (электростатическая теорема Гаусса):

Е„(13 = Ажд, (11.2)

где 5 - некоторая замкнутая поверхность, q - полный заряд внутри этой поверхности. Потенциал и напряженностъ электрического поля связаны соотношениями

Е = - grad у?, ¥?(г) = Е • dr, у?(го) = 0. (П.З)

Потенциал ip удовлетворяет уравнению Пуассона

Аср = -47гр. (II.4)

Потенциал непрерывен и конечен во всех точках пространства, где нет точечных зарядов, в частности, на заряженной поверхности, разделяющей




в случае поверхностного или линейного распределения зарядов объемный интеграл в (II.7) заменяет-Рис. 6 соответствующим поверхностным иди линейным

интегралом, а в случае системы точечных зарядов суммой по зарядам. Это замечание относится также ко всем нижеследующим формулам, в которых содержатся объемные интегралы по распределению зарядов.

В большинстве случаев прямое вычисление интеграла (II.7) затруднительно, в связи с этим часто применяется представление потенциала в виде ряда, который получается в результате разложения подынтегрального выражения по степеням ж/г иди ж/г и почленного интегрирования. Такое разложение можно получить как в декартовых, так и в сферических координатах.

Декартовы координаты (рис. 7). При г > а (а - наибольшее расстояние зарядов системы от полюса О):

,(ж,у,.) = --р„.- + .--

Qa/37 1

3! dxadxffdx-y г

(II.8)

области 1 и 2, у?1 = у?2 (рис. 6). Нормальные производные у? терпят разрыв на заряженной поверхности:

- £i„ = 47га или -=47га. (II.5)

Нормаль п направлена из области 1 в область 2.

На поверхности двойного электрического слоя с мощностью г (см., например, [101])

= 1, ¥2-¥1=47гг (II.6)

(нормаль п имеет направление от отрицательной стороны слоя к положительной).

Если распределениям зарядов р\ и р2 соответствуют потенциалы ip\ и у?2, то потенциалом распределения р = pi + р2 является ip=ipi + ip2 (принцип суперпозиции). То же справедливо для электрического поля Б. В частности, принцип суперпозиции позволяет из потенциалов элементарных зарядов q/r получать путем суммирования потенциалы сложных систем зарядов:

p{r)dV




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.02