Указание. Распределение заряда в точечной частице характеризуется обьемной плотностью/)(r,t) = e(J[r-ro(t)], где ro(t) -радиус-вектор частицы вмомент времени t, е - ее заряд. При вычислении объемного интеграла по dV = dxdydz нужно перейти к новой переменной Ri = г - го.

757*. Произведя разложение по степеням R/c в общих формулах запаздывающих потенциалов ((XII. 1), (XII.2)), найти разложение потенциалов Лиенара-Вихерта по степеням 1/с.

758. Получить потенциалы поля равномерно движущегося точечного заряда из потенциалов Лиенара-Вихерта, выразив в последних ретардированное время t через время t наблюдения поля (ср. с задачами 610 и 811"*).

759. Найти напряженности поля равномерно движущегося точечного заряда, воспользовавщись для этого общими формулами (XII.25). Выразить поле через время t его наблюдения, исключив ретардированное время t (ср. с задачей 610).

760. Заряд е движется с малой скоростью v и ускорением v ограниченной области. Найти приближенные выражения электромагнитного поля Б, Н частицы в точках, расстояние г до которых частицы велико по сравнению с размерами области движения заряда. Определить положение границы квазистационарной и волновой зон.

761. Определить угловое распределение излучения заряда, рассмотренного в предыдущей задаче. Найти полное излучение /.

762*. Частица теряет в единицу времени за счет излучения в некотором направлении энергию (-гг;) (скорость потерь энергии на еди-

\ dt oLl/

ницу телесного угла в данном направлении). Выразить эту величину через интенсивность излучения в данном направлении определяемую вектором Пойнтинга. Рещить задачу двумя способами: а) аналитическим рассмотреть связь ретардированного времени t с временем наблюдения t; б) геометрическим - рассмотреть форму области пространства, в которой локализована электромагнитная энергия, излученная частицей за время dt.

763. Доказать, что если частица соверщает периодическое движение, то средняя за период скорость потерь энергии совпадает со средней интенсивностью излучения.

764. Доказать формулу (XII.26).

потери энергии частицей

771. Ультрарелятивистский электрон движется в однородном магнитном поле с напряженностью Н по винтовой линии. Его скорость v со-

ставляет угол в с вектором Н. Найти энергию - теряемую электроном

в единицу времени. Найти также поток энергии излучения I через неподвижную сферу большого радиуса, окружающую электрон.

772. Найти мгновенное угловое распределение интенсивности излучения 4 релятивистской частицы, скорость которой в ретардированный

765. Найти суммарную по всем направлениям скорость потерь энергии ) излучающей заряженной частицей, вьфазив ее а) через скорость v(f) и ускорение v(f)> б) через скорость v(f) и напряженности Е, Н внешнего электромагнитного поля, вызывающего ускоренное движение частицы. Масса частицы т, заряд е.

766. Выразить скорость потери импульса f-1 излучающей заря-

V dt J

женной частицей через суммарную по всем направлениям скорость потери энергии.

767. Излучающую частицу наблюдают из двух систем отсчета, движущихся равномерно друг относительно друга. Сравнить суммарные по всем направлениям скорости потери энергии частицей в этих системах отсчета.

768. Скорость V релятивистской частицы в некоторый момент ретар-дированного времени t параллельна ее ускорению v. Найти мгновенное

угловое распределение интенсивности излучения полную мгновенную интенсивность излучения /, а также суммарную по всем направлениям скорость потери энергии {- ). Какой характер имеет угловое распределение

V dt /

интенсивности излучения в ультрарелятивистском случае?

769. Скорость частицы убывает от до О в течение промежутка времени т. Найти угловое распределение тормозного излучения, испущенного за все время движения частицы, считая ускорение постоянным. Какая длительность At импульса будет зарегистрирована покоящимся прибором?

770. Релятивистская частица с зарядом е, массой ш и импульсом р движется по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н.

Радиус орбиты о = Найти суммарную по всем направлениям скорость

момент времени перпендикулярна ее ускорению. Начертить полярную диаграмму для случаев и с и и ~ с. Определить направления, в которые не происходит излучения.

773*. Частица с зарядом е и массой т движется со скоростью v по окружности в постоянном однородном магнитном поле Н. Найти угловое

распределение интенсивности излучения, усредненное по периоду обращения частицы в магнитном поле. Какой характер принимает это угловое распределение в ультрарелятивистском случае и ~ с?

Указание. Использовать результаты предыдущей задачи. Перейти к сферическим координатам с полюсом в центре круговой траектории и полярной осью вдоль Н. При вычислении интеграла по азимутальному углу воспользоваться формулами 3.428 из справочника [90].

774*. Найти компоненты Фурье поля излучения А„, Н„ заряда е, движущегося по круговой орбите радиуса а с релятивистской скоростью v. Исследовать характер поляризации компонент Фурье.

Указание. Использовать формулы (ПЗ.П) и (П3.9).

775. Объяснить наличие высших гармоник в спектре поля заряда, движущегося с постоянной скоростью по круговой орбите (см. предыдущую задачу). Как будут меняться интенсивности этих гармоник, когда /3 = -»О? Какой вид будет иметь поле излучения в этом случае?

776*. Заряд е движется по окружности радиуса а со скоростью v = /Зс.

Найти спектральное разложение интенсивности излучения в данном направлении.

777*. На круговой орбите одновременно находится N электронов (см. задачу 774*). Рассмотреть влияние интерференции полей, создаваемых этими электронами, на интенсивность излучения тг-й гармоники Фурье. Рассмотреть частные случаи: а) соверщенно беспорядочного расположения электронов; б) правильного расположения электронов на угловом расстоянии друг от друга; в) расположения электронов в виде сгустка, размеры

которого малы по сравнению с радиусом орбиты (результат в этом случае существенно зависит от отнощения длины волны к размерам сгустка).

778*. Две частицы с зарядами ei, eg и массамиш!, (щФщ совершают эллиптическое движение (см. задачу 712). Найти полную, усредненную по времени, интенсивность излучения /.