Глава XII

ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ВОЛН

§ 1. Вектор Герца и разложение ио мультиполям

Задача нахождения переменного элекгромагнигного поля в вакууме по заданному распределению зарядов р{г, t) и токов j (г, t) может быть решена путем вычисления запаздываюиок потенциалов:

-dV, (XII. 1)

dV, (XII.2)

где R= r-rl, г - радиус-вектор точки наблюдения поля, г - радиус-вектор источника поля, dV - элемент объема источника поля. Эти потенциалы удовлетворяют уравнениям Даламбера:

и связаны между собой условием Лоренца:

divA+i- = 0. (XII.5)

с at

Количество неизвестных функций может быть уменьшено, если вместо потенциалов A(r,f) и (p{r,t), связанных меяаду собой уравнением (XII.5),

а<2

Векторы Б и Н выражаются через Z формулами:

E = rotrotZ-47rP,1

„ larotZ \ (XII.11)

Чтобы найти электромагнитное поле по заданным /э и j, используя вектор Герца, нужно сначала определить с помощью формул (XII.8) и (XII.9) вектор поляризации Р. Вследствие аналогии между уравнениями (XII.3)-(XII.4) и (XII. 10) вектор Герца выражается затем через Р так же, как запаздывающие потенциалы и А через р и j:

Z(r,f) = j

Pki-I)

-Ь--- dV. (XII. 12)

Если система зарядов и токов заключена в ограниченной области, размеры которой имеют порядок а, а порядок величины длин волн, существенных в спектральных разложениях потенциалов, составляет А, то при

<1 и f<l (XII.13)

ввести одну векторную функцию Z(r, t) (вектор Герца, и поляризационный потенциал), через которую А и </? выражаются формулами:

(/? = -divZ, (XII.6)

А = i • . (XII.7)

Распределение зарядов и токов при этом целесообразно описывать с помощью одной векторной функции Р(г, f), связанной с /э и j соотношениями:

/9=-divP, (XII.8)

j = . (XII.9)

Такое определение величины Р обеспечивает выполнение уравнения непрерывности div j + = О- Величина Р называется поляризацией (не следует

смешивать эту величину с поляризацией диэлектрика). Вектор Герца Z удовлетворяет уравнению Даламбера:

AZ - • = -47гР. (XII. 10)

(волновая зона). В этом случае для нахождения поля можно воспользоваться лож©

разложением векторного потенциала по степеням , которое с точностью

ДО [ Y ) имеет вид:

СТ ZC т ст

Здесь п = - орт в направлении распространения электромагнитных волн,

m=jrx j(r, t) dV (XII.18)

- магнитный дипольный момент,

13 J

- составляющие квадрупольного момента, точкой обозначается дифференцирование по f.

можно произвести разложение подынтегральных функций по степеням

Если ограничиться первым членом такого разложения, то

Z(r,f) = , (XII.14)

где f = f - - ретардированное время центра системы. Величина

p{t) = jvpiv,t)dV (XII. 15)

представляет собой электрический дипольный момент распределения зарядов (ср. с задачами 741,742). Соответствующие выражения для А и у? будут тогда следовать из (XII.6) и (XII.7).

Особый интерес представляет рассмотрение поля на таких больших расстояниях г от системы зарядов, что наряду с (XII. 13) выполняется неравенство

г<А<г (XII. 16)