Задача может быть решена также непосредственно путем интегрирования уравнений движения частицы в трехмерной форме.

688. Найти конвекционный потенциал •ф бесконечно длинного прямого равномерно заряженного провода. Линейная плотность заряда равна х в той системе отсчета, где провод покоится. Провод перемещается поступательно со скоростью V под углом а к своей длине (в лабораторной системе отсчета). Рассмотреть, в частности, случаи а = О, а = .

689. Бесконечно длинная равномерно заряженная прямая с линейной плотностью заряда х в системе, где прямая покоится, перемещается вдоль своей длины равномерно со скоростью v. На расстоянии г от нее находится точечный заряд, движущийся параллельно прямой с той же скоростью. Найти электромагнитную силу F, действующую на заряд; скорость v произвольна.

690. Распределение электронов в параллельном пучке обладает аксиальной симметрией и характеризуется объемной плотностью заряда р в системе отсчета, связанной с электронами. Электроны ускорены разностью потенциалов V. Полный ток в пучке равен J. Найти величину электромагнитной силы F, приложенной к одному из электронов пучка в лабораторной системе отсчета.

Указание. Воспользоваться результатом задачи 689.

691. Найти ущирение До пучка электронов, рассмотренного в предыдущей задаче, на пути L вследствие взаимного отталкивания электронов. Сечение пучка - круг радиуса о. Считать ущирение малым (До < L).

692*. Частица с зарядом е и массой m движется с произвольной скоростью в однородном постоянном электрическом поле Е. В начальный момент времени t = 0 частица находилась в начале координат и имела импульс ро. Определить трехмерные координаты и время t частицы в лабораторной системе, в функции ее собственного времени т. Исключив г, представить трехмерные координаты частицы в зависимости от i. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.

693. Найти траекторию заряженной частицы с зарядом е и массой т в однородном постоянном электрическом поле Е, используя результаты задачи 692*. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский случай.

694. Найти пробег I релятивистской заряженной частицы с зарядом е, массой т и начальной энергией ё в тормозящем однородном электрическом поле Е, параллельном начальной скорости частицы.

695*. Релятивистская частица с зарядом е и массой т движется в однородном постоянном магнитном поле Н. В начальный момент времени t = = О частица находилась в точке с радиусом-вектором го, обладая импульсом Ро. Определить закон движения частицы.

696*. Нерелятивистская частица с зарядом е и массой т движется в скрещенных постоянных однородных электрическом Е = (О, Еу, Е) и магнитном Н = (О, О, Н) полях. В начальный момент f = О частица находилась в начале координат и имела скорость v = (uonOjUoz)- Определить зависимости x{t), y{t), z{t), начертить возможные траектории частицы.

Указание. Для упрощения интегрирования ввести и = x-\-iy.

697. Релятивистская частица движется в параллельных однородных постоянных электрическом Е и магнитном Н полях (Е Н z). При t = = О частица находилась в начале координат, обладая импульсом ро = = (рох, Oi Pqz)- Определить зависимость х, у, z,t от собственного времени частицы т.

698. Определить закон движения частицы во взаимно перпендикулярных однородных постоянных электрическом Е и магнитном Н полях. Сделать это двумя способами: а) используя преобразование Лоренца и считая известным движение частицы в чисто электрическом или чисто магнитном поле (см. задачи 692* и 695*) и б) интегрируя уравнения (XI.19).

699. Найти кинетическую энергию Т частицы в функции собственного времени г для случаев движения, рассмотренных в задачах 692*, 697, 698.

700. Частица, начальная скорость vo которой мала {vo <tC с), движется вскрещенных постоянных однородных электрическом и магнитном полях Е = (О, Еу, Ег), Н = (О, О, Я), Е < Н. Определить закон движения частицы, используя преобразования Лоренца и считая известным движение частицы в параллельных электрическом и магнитном полях (см. задачу 697). При решении использовать результаты задачи 603. Ответ сравнить с задачей 696*.

701. Определить закон движения частицы с зарядом е и массой т в поле плоской электромагнитной волны

ЩП Hit),

где t = t - п - орт распространения волны. В начальный момент частица покоилась в начале координат.

Указание. Обратить внимание на то, что собственное время т частицы совпадает с аргументом t плосюй волны.

702. Нерелятивистская заряженная частица с зарядом е и массой т проходит через двумерное электростатическое поле с потенциалом ip = = к{х - у), где к = const > О (линза с сильной фокусировкой). В момент времени t = 0 частица находится в точке с координатами хо, уо, zq; начальная скорость vo параллельна оси z. Определить движение частицы.

703. Найти дифференциальные уравнения движения релятивистской частицы в электромагнитном поле исходя из функции Лагранжа в цилиндрических координатах.

Указание. При вычислении производной по времени в уравнениях Лагранжа нужно учитывать, что эта производная берется вдоль траектории частиц, так что г, а, Z должны рассматриваться как функции времени.

704*. Между обкладками цилиндрического конденсатора с радиусами о и 6 (о < 6) поддерживается разность потенциалов V. В пространстве между обкладками имеется аксиально симметричное магнитное поле, напряженность которого параллельна оси конденсатора. Из внутренней обкладки, играющей роль катода, вылетают электроны с нулевой начальной скоростью. Найти критическое значение тока магнитного поля Фкр между обкладками, при котором электроны перестанут попадать на анод вследствие искривления их траекторий в магнитном поле.

705. Длинный прямой цилиндрический катод радиуса а, по которому течет равномерно распределенный ток J, испускает электроны с нулевой начальной скоростью. Эти электроны движутся под действием ускоряющего потенциала V к длинному коаксиальному аноду радиуса Ь. Каково должно быть минимальное значение разности потенциалов Ур между катодом и анодом, чтобы электроны достигали анода, несмотря на заворачивающее действие магнитного поля тока Л

706. По бесконечно длинному прямому цилиндрическому проводу радиуса а течет ток С поверхности провода срывается электрон начальная скорость Vo которого направлена вдоль провода. Найти наибольщее расстояние Ь, на которое электрон может удалиться от оси проводника.

707. Рещить задачу 705, используя преобразование Лоренца к системе отсчета, в которой имеется только одно поле (Е или Н).

Указание. Воспользоваться результатами задач 606 и 706.

708*. Релятивистская частица с зарядом -ей массой m движется в поле неподвижного точечного заряда Ze. Найти уравнение траектории частицы. Исследовать возможные траектории в случае, когда момент импульса А" >