65*. При а = b > с эллипсоидальная система координат (см. предыдущую задачу) вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную CHCTCNty координат. Координата С при этом переходит в постоянную, равную -а , и должна быть заменена другой координатой. В качестве последней выбирают азимутальный угол а в плоскости ху.

Координаты , т) определяются из уравнений

= 1,

с + r,

= 1,

где -c, -c ту -a.

Поверхности = const представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения вокруг оси z, поверхности г) = const - софокусные с ними однополостные гиперболоиды вращения (рис. 2 ).

/т] = const

= const

= const

= const

Рис. 2

Рис.3

Найти выражения г,в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.

66*. Вытянутая сфероидальная система координат получается из эллипсоидальной (см. задачу 64*) при а > b = с. Координата г) при этом вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом а, отсчитываемым в плоскости yz от оси у.

Координаты , С определяются из уравнений

= 1,

+

= 1, r = y + ;г

где е > -Ь, -6 С -а-

Поверхности постоянных и С представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 3). Выразить величины X, г через , С; найти коэффшщенты Ламэ и оператор Лапласа в переменных , С, о:.

= const

= const

Рис. 4

67. Бисферические координаты , 77, а а связаны с декартовыми соотношениями:

а sin Г) cos а ch - cos 77

а sin 7? sin а ch - cos 77

Ch - COS7j

где a - постоянный параметр, -оо < < оо, О < ту < тг, О < а < 27г.

Показать, что координатные поверхности = const представляют собой сферы ж -Ь -Ь (г - acth) = > поверхности jj = const - веретенообразные поверхности вращения вокруг оси z, уравнение которых

(V-actg„)2 + 2=()

поверхности а = const - полуплоскости, расходящиеся от оси z (рис. 4). Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.

= const

Рис. 5

68. Тороидальные координаты р, , а образуют ортогональную систему и связаны с декартовыми координатами соотнощениями

ashp cos а chp - cos

ashpsina ch p - cos

asin ch p - cos