667. Выразить инвариантные переменные s, t, и (XI. 13) для случая упругого рассеяния одинаковых частиц через массу т, абсолютную величину импульса q и угол рассеяния в в системе ц. и.

668. Пусть в лабораторной системе частица Ь покоится. Выразить энергию 6а частицы о в лабораторной системе, а также энергии 6а, « частиц в системе ц.и. через инвариантную переменную s (см. (XI. 13)). Сделать то же самое для абсолютных величин трехмерных импульсов ра, р (ра =рь = р)- Использовать систему единиц, в которой скорость света с = = 1.

669. Выразить энергии Sc, Sd частиц, возникающих в результате двухчастичной реакции, через инвариантные переменные (XI. 13). Энергии §с, относятся к лабораторной системе отсчета.

670. Выразить угол в между трехмерными импульсами р, рс в лабораторной системе при двухчастичной реакции через инвариантные переменные S, t, и (XI. 13). Выразить через эти же переменные угол в между импульсами р, Рс в системе ц. и.

671. Построить область допустимых значений переменных s и i (см. (1.13)) для реакции 7 -Ь р -> тг" -Ь р (фоторождение тг"-мезона на протоне). Какая точка этой области соответствует порогу реакции? Каково пороговое значение То энергии 7-кванта в лабораторной системе отсчета? Какую кинетическую энергию Т имеет в лабораторной системе тг"-мезон при пороговой энергии 7-кванта?

672. Два 7-кванта превращаются в пару электрон-позитрон. Энергия одного из них задана и равна Sq. При каких значениях S2 энергии второго кванта и угла в между их импульсами возможна эта реакция? Изобразить эти значения на плоскости переменных S2, cos в. Найти также область допустимых значений переменных s,t (XI. 13). Энергию записывать в единицах ГШ?, где т - масса электрона.

673. Построить на кинематической плоскости переменных s, t (XI. 13) физические области, соответствующие следующим трем процессам:

а) ТГ+ -Ь р -> ТГ+ -Ь р - упругое рассеяние,

б) тг~ -Ь р -> тг~ -Ь р - упругое рассеяние античастиц,

в) ТГ+ -Ь тг~ -> р -Ь р - рождение пары протон-антипротон.

Массы всех мезонов и всех нуклонов одинаковы (т и М соответственно).

674. Доказать, что излучение и поглощение света свободным электроном в вакууме невозможно. Исходить из закона сохранения энергии-импульса.

Аналогичный эффект может иметь место также при прохождении через вещество нейтральной частицы, обладающей электрическим или магнитным моментом.

675. Доказать, что при равномерном движении заряженной свободной частицы в среде с показателем преломления п(и)) (масса частицы т, заряд е, скорость v) может происходить излучение электромагнитных волн (эффект Вавилова-Черепкова). Выразить угол i? между направлением распространения волны и направлением скорости v частицы через v, ш, п{ш) (ср. с задачей 827*).

Указание. В поюящейся среде с показателем преломления п{ш) фотон обладает энергией § = Пш и импульсом р = п{ш).

676. Доказать, что свободный электрон, движущийся в среде со скоростью V, может поглощать электромагнитные волны, частоты ш которых

удовлетворяют неравенству v > -j-, где п{ш) - показатель преломления

п{ш)

среды.

677. Частица, имеющая, вообще говоря, сложную структуру и содержащая внутри себя электрические заряды (например, атом), движется равномерно со скоростью v в среде с показателем преломления п{ш) и находится в возбужденном состоянии. При переходе в нормальное состояние частица излучает квант с частотой шо (в системе покоя). Этот квант наблюдается в лабораторной системе отсчета под углом д к направлению движения частицы. Какая частота ш наблюдается в лабораторной системе (эффект Допплера в преломляющей среде)? Рассмотреть, в частности, случай о; -> 0.

Указание. Члены второго порядка по Й не учитывать, считать, что hwo < < ГШ?, где т - масса частицы.

678. Частица, рассмотренная в задаче 677, движется равномерно через среду, находясь в своем нормальном состоянии (остальные условия задачи 677 сохраняются). Доказать, что при этом может происходить излучение, сопровождаемое возбуждением частицы. Выяснить, какие условия необходимы для возникновения такого излучения. Найти частоту ш этого излучения (сверхсветовой эффект Допплера).

679. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что черен-lOjBCKoe излучение одного кванта частоты ш невозможно, если показатель преломления среды п{ш) < 1 (см. задачу (676)). В частности, невозможно одноквантовое черепковское излучение достаточно жестких фотонов, так как при больших частотах п(и)) < 1. Показать, что при равномерном движении быстрой заряженной частицы с энергией через среду может

§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном

ноле

В электромагнитном поле Е, Н на точечную частицу с зарядом е, движущуюся со скоростью V, действует сила Лоренца

F = eE-bvxH. (XI.16)

происходить излучение сразу двух фотонов, один из которых (с частотой г) может быть жестким, так что для него п{ш2) -> 1. Выяснить, каким условиям должны удовлетворять частота wi другого фотона и скорость vq частицы (huji < сро), чтобы был возможен такой процесс (жесткое излучение Вавилова-Черепкова). 1Сакова наибольшая энергия жесткого кванта?

680. Рассмотреть кинематику жесткого излучения Вавилова-Черепкова (см. предыдущую задачу), считая электрон ультрарелятивистским, So » пит, а угол 1?2 вылета жесткого кванта малым. Определить максимальное значение {Нш2)пах энергии жесткого кванта, которого можно достичь в этом случае; рассмотреть характерные частные случаи.

681. Кристаллическая решетка способна принимать импульс толь-га) дискретными порциями q = 27rftg, где g - вектор обратной решетки. В случае кристаллической решетки, элементарная ячейка которой имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами oi, 02, 03, вектор g =

= (щ-, где ni, П2, Пз - любые целые числа. Считая, что кристалл,

имеющий очень большую массу, не может принимать от частицы энергию, выяснить, какой характер будет иметь угловое распределение частиц, рассеиваемых на монокристалле.

682. Учитывая связь ро = 2жК/Хо меяаду импульсом ро частицы и соответствующей длиной волны Ао, вывести условие Брэгга-Вуль-

фа: 2osin = пАо, где а - расстояние между кристаллическими плоскостями, 1? - угол рассеяния частицы.

683. Выяснить, какой характер будет иметь энергетический спектр тормозных квантов, возникающих при рассеянии заряженных частиц на монокристалле (ср. с задачей 681). Угол между направлением распространения тормозного кванта и первоначальным импульсом частицы фиксирован и мал, I? < 1. Частица ультрарелятивистская. So > тс.