(Х.35)

Формулы D = Е + 47гР и В = Н + 47гМ объединяются в одно соотношение

Hik = Fik-4nMik. (Х.36)

Четырехмерная fi, приложенная к единице объема среды со стороны поля, определяется как

/г= ([Q + f-v],f), (Х.37)

где f - пондеромоторная сила, приложенная к единице объема, Q - джоу-лево тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема.

603. Записать формулы преобразования для векторов поля Е, В; D, Н и поляризаций Р, М при переходе к системе S, движущейся относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить формулы преобразования в векторном виде.

Указание. Воспользоваться выражением юэффициентов преобразования, приведенным в задаче 602, и антисимметрией тензоров Fik, Hik, Mik.

604. В системе отсчета S имеется однородное электромагнитное поле Б, Н. С какой скоростью относительно S должна двигаться система S, в которой Б II Н? Всегда ли задача имеет решение и единственно ли оно? Чему равны абсолютные значения Б и Н?

605. В системе отсчета S электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны: Б J. Н. С какой скоростью относительно S должна двигаться система S, в которой имеется только электрическое или только магнитное поле? Всегда ли существует решение и единственно ли оно?

606. Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной плотностью л. Вдоль оси цилиндра течет равномерно распределенный ток Во всем пространстве проницаемости е = ц = 1. Найти такую систему отсчета, в которой существует только электрическое или только магнитное поле. Найти величину этих полей.

Векторы поляризации и намагничения Р и М также образуют 4-тензор

607. Система дифференциальных уравнений для магнитных силовых линий вида

dr X Н = О (1)

не является релятивистски инвариантной и при переходе в другую инерци-альную систему не сохраняет своего вида.

а) Показать, что для полей некоторого специального вида система уравнений

drxH-bcE = 0, E-dr = 0 (2)

может рассматриваться как релятивистски инвариантное обобщение системы (1).

б) Выяснить структуру полей, для которых такое обобщение возможно, путем рассмотрения условий совместности уравнений (2). Сколько независимых уравнений содержится в системе (2)?

в) Какой вид имеет условие интегрируемости системы (2)?

г) Убедиться в том, что силовые линии, определяемые системой (2),

перемещаются в поперечном направлении со скоростью и = сЕ х т.е.

являются движущимися даже в случае статических полей.

608. Показать, что релятивистски инвариантная система уравнений для электрических силовых линий, аналогичная системе (2) предыдущей задачи, имеет вид eikimFim dxk = О (1). Какие требования налагаются на Е и Н, а также на распределение зарядов и токов условиями совместности и интегрируемости системы (1)? Как перемещаются силовые линии, определяемые системой (1)?

609. Найти величину э. д. с. электромагнитной индукции, возникающей при движении проводника в магнитном поле В. Воспользоваться либо формулами преобразования напряженностей поля, либо формулами преобразования потенциалов.

610. Найти поля ip. А, Е, Н точечного заряда е, движущегося равномерно со скоростью V, произведя преобразование Лоренца от системы отсчета, в которой заряд покоится.

611. Показать, что электрическое поле равномерно движущегося точечного заряда «сплющивается» в направлении движения. При этом происходит ослабление поля Е на линии движения заряда по сравнению с ку-лоновым полем. Как согласуется это ослабление с формулой преобразования = Еп?

612. Электрический диполь с моментом ро в системе покоя равномерно движется со скоростью V. Найти создаваемое им электромагнитное поле If, А, Е, Н.

Легко убедиться непосредственно, используя определение тензора Tjj., что пространственная часть Кав тензора Kik представляет собой антисимметричный тензор, эквивалентный

вектору К = /(г X g) dV -Ь 53 г X р, где g = х Н) - плотность импульса поля.

613. Получить формулы преобразования электрического р и магнитного m дипольных моментов поляризованного и намагниченного тела при переходе от инерциальной системы отсчета, в которой тело покоится, к другой инерциальной системе.

Указание. Исходить из известных формул преобразования вектора поляризации Р и вектора намагничения М.

614. Незаряженная проволочная петля с током имеющая форму прямоугольника о х 6, движется равномерно со скоростью V параллельно своей стороне а. Провод имеет конечное сечение. Найти распределение электрических зарядов на петле, а также ее электрический и магнитный моменты, наблюдаемые в лабораторной системе отсчета.

615. Найти закон релятивистского преобразования джоулева тепла Q, исходя из определения четырехмерной плотности силы.

616. Найти формулы преобразования компонент тензора энергии импульса Тгк при преобразовании Лоренца.

617. Найти шпур тензора энергии импульса (Х.28), т. е. результат свертывания его по двум значкам.

618*. Электромагнитное поле отлично от нуля лишь внутри некоторого конечного пространственного обьема V, в котором отсутствуют заряды. Доказать, что полные энергия и импульс поля образуют 4-вектор.

619*. Полный момент импульса системы, состоящей из электромагнитного поля в вакууме и точечных зарядов, можно определить формулой

в которой интеграл распространен на всю гиперповерхность хо = ct = = const. Суммирование производится по всем частицам; при этом берутся значения Хг, рк в точках пересечения мировых линий соответствующих зарядов с гиперповерхностью хо = const. Доказать сохранение полного

момента импульса Кгк системы, учитывая, что = - Fikjk-