588. Показать, что тензор gik (Х.19) имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах координат.

589. Показать, что компоненты Ai, Aq, A3 четырехмерного вектора Ai = (1,2,3,4) при пространственных поворотах преобразуются как компоненты трехмерного вектора А = (1,2,3), а компонента А4 является трехмерным скаляром.

590. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор II ранга при пространственных поворотах.

591. Показать, что компоненты антисимметричного 4-тензора II ранга преобразуются при пространственных поворотах как компоненты двух независимых трехмерных векторов.

592. Доказать, что величина eikim, определенная во введении к данному параграфу, действительно преобразуется как псевдотензор.

593. Доказать равенства: а) eikimSimrs = 2{gisgkr - 9ir9ka); б) ВгЫтеытп = -9гп, гдс величины eikim и gik определены во введении к этому параграфу.

594. Доказать равенство

Bikimeirnrs = AiBkCrDs = 2{AiCi)iBkCk) - 2iAiCi){BkDk).

595. Составить 4-вектор из частных производных dip/dxi (г = = 0,1,2,3), где f - скаляр. Найти выражение для компонент Vi оператора четырехмерного градиента.

596. Составить 4-вектор Tik из частных производных dAi/dxk {г,к = = 0,1,2,3), где Ai - 4-вектор. Показать, что 4-дивиргенщ1я ViAi является инвариантом, где У» - оператор 4-градиента, введенный в предыдущей задаче.

597. Найти закон преобразования величин:

а) Л?; б) TikAk, если Ai - 4-вектор, Tik - 4-тензор.

598. Два 4-вектора Ai и Bi называются параллельными, если

Ао Ai А2 Аз Во Bi В2 Вз

Доказать, что отнощение одноименных компонент параллельных 4-векторов инвариантно относительно преобразования Лоренца.

599. Сколько существенно различных компонент имеет 4-тензор III ранга, антисимметричный по отнощению к перестановке любой пары значков? Показать, что они преобразуются при поворотах как компоненты четырехмерного псевдовектора.

Fik =

/О -Ex -Ey -ЕЛ

Ex О -Яг Ну

Еу Н, О -Нх

\Е, -Ну Нх О ,

(Х.24)

При переходе от системы S к системе S компоненты поля преобразуются по формулам (осих их параллельны относительной скорости):

Ех = Е„ Еу = j{Ey + 0Hi), Е, = {Ei - Щ); Нх = Н„ Hy = {Hy-l3Ei), H,={Hi + l3Ey).

(Х.25)

Величины

Н2 E = inv, Е • Н = inv (Х.26)

являются инвариантами преобразования Лоренца. Векторный А и скалярный ip потенциалы образуют 4-вектор потенциала

Ai = {ip,A). (Х.27)

600. Даны три системы отсчета: S, S, S". S" движется относительно S со скоростью V, параллельной оси х, S - относительно S со скоростью V, параллельной оси х. Одноименные оси всех трех систем параллельны. Путем перемножения соответствующих матриц получить матрицу преобразования от S" к S. Получить отсюда формулу сложения (см. (Х.11)) одинаково направленных скоростей.

601. Записать преобразование Лоренца (Х.1) в переменных xi, Х2, Хз, Хо = ct, выразив величину относительной скорости V через угол а по

формуле = th а.

602. Получить матрицу преобразования д от системы S к системе S путем перемножения матриц простых преобразований. S движется относительно S со скоростью V = tha в направлении, характеризуемом сферическими углами ip. Соответствующие оси S и S параллельны.

§ 3. Релятивистская электродинамика

Приведем основные формулы релятивистской электродинамики в вакууме. Плотность трехмерного тока j = и плотность заряда р образуют 4-вектор плотности тока:

ji = {cp,j). (Х.23)

Электрическое и магнитное поля являются компонентами антисимметричного 4-тензора электромагнитного поля Fik.

Компоненты тензора энергии-импульса в вакууме определяются формулой

Tik = {-FiiFki + \gikFL). (Х.28)

Девять пространственных компонент тензора Тк образуют трехмерный тензор натяжений Максвелла

(Х.29)

Пространственно-временные компоненты Тгк пропорциональны составляющим плотности потока энергии S и плотности импульса поля g:

Тоа = Ьа, S = -Е X Н,

Тоа = еда,

g = -fExH=S.

47ГС

(Х.30)

Временная компонента Т» связана с плотностью энергии поля ш соот-нощением

(Х.31)

Тоо = с<; = (Е2 + Н2).

Дивергенция тензора Tik определяет обьемную плотность сил /» = = , приложенных к зарядам:

Q = fi = -cFik3k.

(Х.32)

Перейдем теперь к формулам электродинамшси при наличии сред. В этом случае векторы поля Е, D, В, Н образуют два антисимметричных четырехмерных тензора II ранга: тензор поля

Fik =

/О -Ех -Еу -ЕЛ

Ех О -Вг By

Еу Вг о -Вх

\Е -By Вх О /

(Х.ЗЗ)

и тензор индукции

Hik =

( О -Dx -Dy -DA Dx О -Н, Ну Dy Яг О -Нх

Уг -Ну Нх

(Х.34)