Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

582. Тонкий стержень MN неподвижен в системе S, имеет в ней длину 0 и ориентирован так, как показано на рис. 41. Система S движется со скоростью V II Ож относительно фотопластинки АВ, покоящейся в системе S. В момент прохождения стержня мимо фотопластинки происходит короткая световая вспышка, при которой лучи света падают нормально к плоскости ху фотопластинки.

а) Какова длина i изображения на фотопластинке? Может ли она стать равной или превысить IqI

б) При каком угле наклона а сфотографируется только торец стержня?

в) Каков угол наклона а стержня к оси 0x1

583. Шар, движущийся со скоростью V, фотографируется неподвижным наблюдателем под малым телесным углом. Лучи света от шара падают параллельным пучком на обьектив фотоаппарата, составляя прямой угол с направлением скорости V. Какую форму будет иметь изображение на фотопластинке? Kai часть поверхности шара будет сфотографирована?

УКАЗАНИЕ. Представить шар в виде совокупности тонких дисюв, движущихся параллельно своим плосюстям, и построить изображение каждого диска.

584. Пусть движущийся непро-С[ D зрачный куб фотографируется непо-

движным наблюдателем в момент, когда лучи, приходящие от куба, составляют произвольный угол а с направлением скорости V куба (в системе наблюдателя). Телесный угол, под которым виден куб, мал, вследствие чего лучи приходят параллельным пучком и падают на фотопластинку нормально к ее поверхности (рис. 42). Показать, что фотография должна совпадать с фотографией неподвижного, но повернутого на некоторый угол куба. Найти угол поворота изображения при разных значениях V и фиксированном а. При каком значении V будет сфотографирована одна грань АВ1 одна грань ВС1

585. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской монохроматической волны в движущейся со скоростью V в среде с показателем преломления п (фазовая скорость волны в неподвижной сре-


Рис. 42



де и = ). Найти формулы преобразования частоты, угла распространения и фазовой скорости.

586. Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью V среде в направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме А. Найти скорость V волны относительно лабораторной системы (опыт Физо). Показатель преломления п определяется в системе S, связанной со средой, и зависит от длины волны А в этой системе. Вычисления проводить с точностью до первого порядка по V/c.

§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры

При переходе от одной инерциальной системы (S") к другой (5) компоненты 4-вектора преобразуются по формулам

Ai = aikAk, где матрица преобразования а имеет вид

(Х.16)

(Х.17)

Она соответствует преобразованию (Х.1), при котором одноименные координатные оси систем S и S параллельны, относительная скорость направлена вдоль X и начала координат при t = t = 0 совпадали. Матрица преобразования удовлетворяет соотнощениям

аиаы = Qik, otuaik = gik, где gik - метрический тензор, имеющий вид

9гк =

(Х.18)

(Х.19)

Знаки на главной диагонали метрического тензора соответствуют знакам в формуле (Х.5), определяющей скалярное произведение двух 4-векторов.

Не забывать правило знаков при суммировании, сформулированное после формулы (Х.б): при суммировании по дважды повторяющимся индексам слагаемое с индексом О берется со знаком «-Ь», а слагаемые с индексами 1, 2, 3 - со знаком «-».



Преобразование, обратаое (Х.16), записывается так:

К = аыАн. (Х.20)

Координаты мировой точки xq = ct, xi = х, xq = у, хз = z образуют 4-вектор и преобразуются по формулам (Х.16), (Х.20).

При последовательном выполнении двух преобразований Лоренца соответствующие матрицы перемножаются по обычному правилу умножения матриц (см. гл. I, § 1).

Четырехмерным тензором (4-тензором) JV-ro ранга называется совокупность 4 величин Tik...i, которые при переходе к другой инерциальной системе отсчета преобразуются как произведения соответствующих компонент 4-вектора Л, Ak, ..., Af.

Tik...i = aipakr...auTl,,,a- (Х.21)

Определитель \aik\, составленный из элементов матрицы а преобразования Лоренца, может быть равен -1 (собственное преобразование Лоренца, например, (Х.1)) или -1-1 (несобственное преобразование). Любое собственное преобразование Лоренца сводится к преобразованию вида (Х.1) и пространственному повороту; такие преобразования могут рассматриваться как повороты в четырехмерном пространстве. Несобственные преобразования Лоренца включают в себя отражение одной или трех координат.

Псевдотензором JV-ro ранга называется совокупность 4 веди-чин Pik.. .1, которые при четырехмерных преобразованиях координат преобразуются по формулам

Pik...i = oiipakr ..-аи\атп\Ррг...а- (Х.22)

Примером псевдотензора является совершенно антисимметричный единичный псевдотензор 4-го ранга (см. ниже задачу 592). Его компоненты eikim определяются следующими условиями: а) егЫт меняют знак при перестановке любой пары значков; б) ео12з = 1- Отсюда следует, что компоненты eikim равны нулю, если среди значков есть совпадающие между собой, или равны ±1, если все значки различны.

587. Доказать равенства:

Аг = 9ikAk, АгВг = AiQikBk, 9ik9kl = 9il, 9ii = 4,

где 9ik - метрический тензор (Х.19), Аг и Вг - четырехмерные векторы. При суммировании по двум повторяющимся значкам используется правило знаков, приведенное после формулы (Х.5).




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.0208